Em
, a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é
. Em
, sua aceleração é
. Se
, é menor que um período, determinar o raio da trajetória da partícula. No sistema de unidades SI, a velocidade angular é expressa em radianos/s.
(20 pontos)
(20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em um movimento circular uniforme, ou seja, com velocidade angular constante. Nos tempos
segundos e
segundos, conhecemos as acelerações da partícula:
- Em
: - Em
:
Queremos encontrar o raio da trajetória da partícula. Para isso, vamos precisar entender como a aceleração em movimento circular uniforme funciona.
Passo 2
No movimento circular uniforme, a aceleração é centrípeta, ou seja, sempre aponta para o centro do círculo e tem módulo dado por:
Onde:
-
é a aceleração centrípeta -
é a velocidade angular -
é o raio da trajetória
Agora, como a velocidade angular
é constante, podemos relacionar as acelerações nos dois tempos dados.
Passo 3
Vamos calcular as magnitudes das acelerações nos tempos
e
:
Para
:
Para
:
Interessante, ambas as acelerações têm o mesmo módulo:
.
Passo 4
Sabemos que
. Como
é constante, podemos usar uma das acelerações para encontrar o raio
.
Vamos usar
:
Para encontrar
, precisamos saber
. Vamos relacionar os tempos
e
com o período
do movimento.
Passo 5
O período
é o tempo que a partícula leva para completar uma volta, e está relacionado com a velocidade angular por:
A diferença de tempo entre
e
é:
Como
é menor que um período
, temos que
.
No entanto, para resolver o problema, não precisamos do valor exato de
, pois podemos usar a relação
diretamente.
Passo 6
Vamos rearranjar a fórmula
para encontrar
:
Mas ainda precisamos de
. Como sabemos que a aceleração centrípeta é a mesma nos dois momentos e
é constante, podemos considerar que não precisamos do valor específico de
, mas sim que a relação é direta.
No entanto, percebemos que falta uma informação para determinar
. Vamos reavaliar nossos passos.
Passo 7
Na verdade, observe que as acelerações
e
são vetores resultantes da aceleração centrípeta e possivelmente de uma aceleração tangencial se houvesse variação na velocidade angular. Mas como o movimento é circular uniforme, não há aceleração tangencial, apenas a centrípeta.
Porém, como as acelerações nos dois tempos têm direções diferentes, precisamos considerar que a posição da partícula mudou de tal forma que as acelerações apontam para diferentes direções, mas com o mesmo módulo. Isso implica que a partícula percorreu um ângulo no intervalo
.
Passo 8
Vamos considerar que as acelerações são vetores centrípetos apontando para o centro do círculo. Então, as direções dessas acelerações implicam posições diferentes no círculo.
Podemos usar a geometria do círculo para relacionar as acelerações e o intervalo de tempo. Sabemos que a diferença de tempo
s está relacionada ao ângulo
percorrido:
Como
(menor que um período), estamos dentro de uma única volta.
Passo 9
A diferença de dire��ão entre
e
pode ser usada para encontrar
. Vamos calcular o ângulo entre os dois vetores aceleração:
Calculando o produto escalar:
Então:
Isso significa que
radianos (90 graus).
Passo 10
Agora podemos relacionar
com
:
Resolvendo para
:
Passo 11
Com
e
, podemos encontrar o raio
:
Resposta
O raio da trajetória da partícula é de
.
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e
.
(20 pontos)
(20 pontos)
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