Em , a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é . Em , sua aceleração é . Se , é menor que um período, determinar o raio da trajetória da partícula. No sistema de unidades SI, a velocidade angular é expressa em radianos/s.
(20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em um movimento circular uniforme, ou seja, com velocidade angular constante. Nos tempos segundos e segundos, conhecemos as acelerações da partícula:
  • Em :
  • Em :
Queremos encontrar o raio da trajetória da partícula. Para isso, vamos precisar entender como a aceleração em movimento circular uniforme funciona.

Passo 2

No movimento circular uniforme, a aceleração é centrípeta, ou seja, sempre aponta para o centro do círculo e tem módulo dado por:
Onde:
  • é a aceleração centrípeta
  • é a velocidade angular
  • é o raio da trajetória
Agora, como a velocidade angular é constante, podemos relacionar as acelerações nos dois tempos dados.

Passo 3

Vamos calcular as magnitudes das acelerações nos tempos e :
Para :
Para :
Interessante, ambas as acelerações têm o mesmo módulo: .

Passo 4

Sabemos que . Como é constante, podemos usar uma das acelerações para encontrar o raio .
Vamos usar :
Para encontrar , precisamos saber . Vamos relacionar os tempos e com o período do movimento.

Passo 5

O período é o tempo que a partícula leva para completar uma volta, e está relacionado com a velocidade angular por:
A diferença de tempo entre e é:
Como é menor que um período , temos que .
No entanto, para resolver o problema, não precisamos do valor exato de , pois podemos usar a relação diretamente.

Passo 6

Vamos rearranjar a fórmula para encontrar :
Mas ainda precisamos de . Como sabemos que a aceleração centrípeta é a mesma nos dois momentos e é constante, podemos considerar que não precisamos do valor específico de , mas sim que a relação é direta.
No entanto, percebemos que falta uma informação para determinar . Vamos reavaliar nossos passos.

Passo 7

Na verdade, observe que as acelerações e são vetores resultantes da aceleração centrípeta e possivelmente de uma aceleração tangencial se houvesse variação na velocidade angular. Mas como o movimento é circular uniforme, não há aceleração tangencial, apenas a centrípeta.
Porém, como as acelerações nos dois tempos têm direções diferentes, precisamos considerar que a posição da partícula mudou de tal forma que as acelerações apontam para diferentes direções, mas com o mesmo módulo. Isso implica que a partícula percorreu um ângulo no intervalo .

Passo 8

Vamos considerar que as acelerações são vetores centrípetos apontando para o centro do círculo. Então, as direções dessas acelerações implicam posições diferentes no círculo.
Podemos usar a geometria do círculo para relacionar as acelerações e o intervalo de tempo. Sabemos que a diferença de tempo s está relacionada ao ângulo percorrido:
Como (menor que um período), estamos dentro de uma única volta.

Passo 9

A diferença de dire��ão entre e pode ser usada para encontrar . Vamos calcular o ângulo entre os dois vetores aceleração:
Calculando o produto escalar:
Então:
Isso significa que radianos (90 graus).

Passo 10

Agora podemos relacionar com :
Resolvendo para :

Passo 11

Com e , podemos encontrar o raio :

Resposta

O raio da trajetória da partícula é de .

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