Uma pedra presa a um cordão de d metros de comprimento, é girada por um menino, fazendo um circulo horizontal a uma altura h do solo. Quando a cordão arrebenta, a pedra é lançada horizontalmente, caindo ao solo a uma distância D do centro da circunferência. Qual era a aceleração centrípeta da pedra, enquanto estava em movimento circular? Expressar a resposta em termos de d, h, D e g.
(20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. Temos uma pedra amarrada num cordão de comprimento d metros, que o menino gira formando um círculo horizontal a uma altura h do chão. Quando o cordão estoura, a pedra é lançada na horizontal e cai no chão a uma distância D do centro da circunferência. Nosso objetivo é descobrir qual era a aceleração centrípeta da pedra enquanto ela estava girando. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular e movimento de projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração centrípeta ( ac) é dada por:
ac = v^2d
Onde v é a velocidade tangencial da pedra e d é o raio da trajetória circular.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir a velocidade v da pedra no instante em que o cordão arrebenta. Quando o cordão rompe, a pedra se move como um projétil horizontal. Vamos usar a fórmula do movimento de projéteis para encontrar o tempo ( t) que a pedra leva para cair do altura h até o chão.
No movimento vertical, a equação é:
h = 12 g t^2
Resolvendo para t:
t = raiz2hg

Passo 4

Com o tempo t que a pedra leva para cair, podemos encontrar a velocidade horizontal v usando a distância D que ela percorreu horizontalmente:
D = v cdot t
Substituindo t da equação anterior:
v = Draiz2hg = D cdot raizg2h

Passo 5

Agora que temos a expressão para v, podemos substituí-la na fórmula da aceleração centrípeta:
ac = v^2d = (D cdot raizg2h)^2d = D^2 cdot g2hd
Simplificando:
ac = D^2 g2 h d

Resposta

A aceleração centrípeta da pedra era:
ac = D^2 cdot g2 h d

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