Num acelerador de partículas, um elétron é acelerado até atingir a energia cinética de , onde é a energia de repouso do elétron. O módulo da velocidade do elétron, em termos da velocidade da luz é dado por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron sendo acelerado em um acelerador de partículas até alcançar uma energia cinética de , onde é a energia de repouso do elétron. A gente precisa descobrir qual é a velocidade desse elétron ( ) em termos da velocidade da luz ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de Relatividade Especial, especialmente as relações entre energia e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que na Relatividade Especial, a energia total ( ) de uma partícula é relacionada à sua energia de repouso ( ) e sua velocidade ( ) pela fórmula:
Onde é o fator de Lorentz, definido como:

Passo 3

A energia cinética ( ) é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
No nosso caso, sabemos que . Então podemos montar a equação:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por :
Assim, encontramos que:

Passo 5

Agora que sabemos que , podemos usar a definição de para encontrar a velocidade . Reorganizando a fórmula de :
Substituindo :

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 7

Agora, isolando :

Passo 8

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A velocidade do elétron é , ou seja:

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