Num acelerador de partículas, um elétron é acelerado até atingir a energia cinética de 9 E0, onde E0=me c^2 é a energia de repouso do elétron. O módulo da velocidade ve do elétron, em termos da velocidade da luz é dado por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron sendo acelerado em um acelerador de partículas até alcançar uma energia cinética de , onde é a energia de repouso do elétron. A gente precisa descobrir qual é a velocidade desse elétron ( ) em termos da velocidade da luz ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de Relatividade Especial, especialmente as relações entre energia e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que na Relatividade Especial, a energia total ( E = gamma E0 ) de uma partícula é relacionada à sua energia de repouso ( gamma = 1raiz1 - v^2c^2 ) e sua velocidade ( ) pela fórmula:
Onde é o fator de Lorentz, definido como:

Passo 3

A energia cinética ( K = E - E0 = (gamma - 1) E0 ) é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
9 E0 = (gamma - 1) E0
No nosso caso, sabemos que . Então podemos montar a equação:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 9 = gamma - 1 :
gamma = 10
Assim, encontramos que:

Passo 5

Agora que sabemos que gamma = 1raiz1 - v^2c^2 implies raiz1 - v^2c^2 = 1gamma , podemos usar a definição de raiz1 - v^2c^2 = 110 para encontrar a velocidade . Reorganizando a fórmula de :
Substituindo :

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 - v^2c^2 = ( 110 )^2 implies 1 - v^2c^2 = 1100

Passo 7

Agora, isolando v^2c^2 = 1 - 1100 = 99100 :

Passo 8

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar vc = raiz99100 = raiz9910 :

Resposta

A velocidade do elétron é ve = raiz9910 , c , ou seja:

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