Um feixe de raios X com frequência igual a 1,5 times 10^19 Hz é espalhado por elétrons que podem ser considerados em repouso num alvo de carbono. O feixe espalhado é detectado num ângulo de 60^circ em relação ao feixe incidente. Qual das alternativas abaixo corresponde à porcentagem da energia do fóton incidente que é transferida para o elétron?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um feixe de raios X com uma frequência de Hz que bate em elétrons parados num alvo de carbono. Depois do espalhamento, o raio X é detectado a um ângulo de em relação ao caminho original. Nosso objetivo é descobrir qual a porcentagem da energia do fóton incidente que foi transferida para o elétron. Para resolver isso, vamos usar a teoria de espalhamento Compton, que trata da interação entre fótons e elétrons.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia do fóton incidente. A energia E = h times f de um fóton é dada pela fórmula:
E = 6,626 times 10^-34 , J·s times 1,5 times 10^19 , Hz = 9,939 times 10^-15 , J
onde:
  • é a constante de Planck ( J·s)
  • é a frequência do fóton
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, precisamos determinar a energia do fóton após o espalhamento, lambda' - lambda = hme c (1 - cos theta) . Para isso, usamos a fórmula de Compton para a mudança na frequência:
hme c = 2,426 times 10^-12 , m
Mas como estamos trabalhando com frequência, podemos relacionar as mudanças de comprimento de onda com frequência usando .
Primeiro, vamos encontrar a constante de Compton:
onde:
  • é a massa do elétron ( kg)
  • é a velocidade da luz ( m/s)

Passo 4

Rearranjando a fórmula de Compton para encontrar a nova frequência 1f' - 1f = hme c^2 (1 - cos theta) :
hme c^2 = 2,426 times 10^-12 , s
Sabemos que:
1f' = 11,5 times 10^19 + 2,426 times 10^-12 (1 - cos 60^circ)
Substituindo os valores:
cos 60^circ = 0,5 Rightarrow 1 - 0,5 = 0,5
1f' = 11,5 times 10^19 + 2,426 times 10^-12 times 0,5 = 11,5 times 10^19 + 1,213 times 10^-12
1f' approx 1,213 times 10^-12
Como f' approx 11,213 times 10^-12 approx 8,24 times 10^11 , Hz é muito menor que , podemos aproximar:

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia do fóton espalhado:
E' = h times f' = 6,626 times 10^-34 , J·s times 8,24 times 10^11 , Hz = 5,46 times 10^-22 , J
Percebemos que a energia após o espalhamento é muito menor, o que indica que a aproximação feita anteriormente não é válida. Isso acontece porque a energia do fóton incidente é muito alta, e a mudança de frequência é mínima.
Vamos corrigir isso usando uma abordagem mais precisa.

Passo 6

Usando a relação mais precisa para a energia do fóton espalhado:
E' = E1 + Eme c^2 (1 - cos theta)
Primeiro, calculamos me c^2 = 9,109 times 10^-31 , kg times (3,00 times 10^8 , m/s)^2 = 8,187 times 10^-14 , J :
Eme c^2 = 9,939 times 10^-158,187 times 10^-14 approx 0,121
E' = 9,939 times 10^-151 + 0,121 times (1 - 0,5) = 9,939 times 10^-151 + 0,0605 = 9,939 times 10^-151,0605 approx 9,380 times 10^-15 , J
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 7

A energia transferida para o elétron é:
De
Para encontrar a porcentagem dessa energia em relação à energia inicial:
Porcenta>=m = ( 5,59 times 10^-169,939 times 10^-15 ) times 100% approx 5,63%

Resposta

A aproximadamente da energia do fóton incidente é transferida para o elétron.

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