Um feixe de raios X com frequência igual a
é espalhado por elétrons que podem ser considerados em repouso num alvo de carbono. O feixe espalhado é detectado num ângulo de
em relação ao feixe incidente. Qual das alternativas abaixo corresponde à porcentagem da energia do fóton incidente que é transferida para o elétron?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um feixe de raios X com uma frequência de
Hz que bate em elétrons parados num alvo de carbono. Depois do espalhamento, o raio X é detectado a um ângulo de
em relação ao caminho original. Nosso objetivo é descobrir qual a porcentagem da energia do fóton incidente que foi transferida para o elétron. Para resolver isso, vamos usar a teoria de espalhamento Compton, que trata da interação entre fótons e elétrons.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia do fóton incidente. A energia
de um fóton é dada pela fórmula:
onde:
-
é a constante de Planck ( J·s) -
é a frequência do fóton
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, precisamos determinar a energia do fóton após o espalhamento,
. Para isso, usamos a fórmula de Compton para a mudança na frequência:
Mas como estamos trabalhando com frequência, podemos relacionar as mudanças de comprimento de onda com frequência usando
.
Primeiro, vamos encontrar a constante de Compton:
onde:
-
é a massa do elétron ( kg) -
é a velocidade da luz ( m/s)
Passo 4
Rearranjando a fórmula de Compton para encontrar a nova frequência
:
Sabemos que:
Substituindo os valores:
Como
é muito menor que
, podemos aproximar:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia do fóton espalhado:
Percebemos que a energia após o espalhamento é muito menor, o que indica que a aproximação feita anteriormente não é válida. Isso acontece porque a energia do fóton incidente é muito alta, e a mudança de frequência é mínima.
Vamos corrigir isso usando uma abordagem mais precisa.
Passo 6
Usando a relação mais precisa para a energia do fóton espalhado:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 7
A energia transferida para o elétron é:
Para encontrar a porcentagem dessa energia em relação à energia inicial:
Resposta
A aproximadamente
da energia do fóton incidente é transferida para o elétron.
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