De acordo com o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, os comprimentos de onda dos fótons emitidos são determinados pelos saltos quânticos dos elétrons em suas órbitas estacionárias. Sendo
os níveis quânticos dos estados final e inicial do elétron, respectivamente, qual é o comprimento de onda do fóton emitido com energia máxima na série de Balmer
? (
é energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, que explica como os elétrons se movem em órbitas específicas ao redor do núcleo. A questão quer saber qual é o comprimento de onda do fóton emitido com a energia máxima na série de Balmer. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os níveis de energia dos elétrons e como eles mudam quando um elétron salta de um nível para outro.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular os níveis de energia dos elétrons no modelo de Bohr. A energia de um elétron em um nível quântico
é dada pela fórmula:
Aqui,
é a energia do estado fundamental (quando
) do átomo de hidrogênio.
Passo 3
A série de Balmer corresponde às transições onde o elétron cai para o nível
. Queremos o fóton com energia máxima nessa série, o que acontece quando a diferença de energia entre os níveis inicial e final é a maior possível. Isso ocorre quando o elétron faz o salto mais próximo possível para baixo, ou seja, de
para
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as energias nos níveis inicial e final:
Passo 5
A energia do fóton emitido é a diferença entre essas duas energias:
Passo 6
Para encontrar o comprimento de onda
do fóton, usamos a relação entre energia e comprimento de onda:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ).
Rearranjando para encontrar
:
Passo 7
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 8
Sabemos que a energia do estado fundamental
do hidrogênio é aproximadamente
. Vamos converter isso para joules para usar na equação:
Passo 9
Agora, substituímos todos os valores na fórmula:
Passo 10
Fazendo as contas:
Resposta
O comprimento de onda do fóton emitido com energia máxima na série de Balmer é aproximadamente
.
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