Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do
:
a)
e
.
Solução
a)
e
. Daí
e
a)
Solução
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, em
. Para isso, vamos usar conceitos de produto interno (também conhecido como produto escalar) e normas de vetores. Precisaremos calcular o produto escalar dos vetores e as magnitudes (normas) de cada um deles para aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno de dois vetores. Para dois vetores
e
em
, o produto interno é calculado assim:
Vamos calcular isso para
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma (ou magnitude) de cada vetor. A norma de um vetor
é dada por:
Vamos calcular as normas de
e
:
Passo 4
Com o produto interno e as normas dos vetores calculados, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo
entre os vetores:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o ângulo
cujo cosseno é 0. Sabemos que:
Portanto, o ângulo
entre os vetores é:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é
radianos, ou
.
Exercícios relacionados
São dados os pontos
e
.
Escreva todas as formas possíveis de equações para a reta que passa por e
.
ponto
pertence a essa reta?
Escreva todas as formas possíveis de equações para a reta que passa por
Para cada conjunto
abaixo, apresentam-se as definições de soma e multiplicação por escalar. Mostre quais são os espaços vetoriais.
(a) e
.
(a)
São dados os pontos
e
.
Os pontos ,
e
formam vértices de um triângulo?
Os pontos
Em que ponto a reta que passa por
e
intersecta o plano
?