Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do :
a) e .
Solução
a) e . Daí
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, em . Para isso, vamos usar conceitos de produto interno (também conhecido como produto escalar) e normas de vetores. Precisaremos calcular o produto escalar dos vetores e as magnitudes (normas) de cada um deles para aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno de dois vetores. Para dois vetores e em , o produto interno é calculado assim:
Vamos calcular isso para e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou magnitude) de cada vetor. A norma de um vetor é dada por:
Vamos calcular as normas de e :

Passo 4

Com o produto interno e as normas dos vetores calculados, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre os vetores:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo cosseno é 0. Sabemos que:
Portanto, o ângulo entre os vetores é:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é radianos, ou .

Exercícios relacionados

São dados os pontos e .
Escreva todas as formas possíveis de equações para a reta que passa por e . ponto pertence a essa reta?
Para cada conjunto abaixo, apresentam-se as definições de soma e multiplicação por escalar. Mostre quais são os espaços vetoriais.
(a) e .
São dados os pontos e .
Os pontos , e formam vértices de um triângulo?
Em que ponto a reta que passa por e intersecta o plano ?