Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do R^3 :
a) u=(1,1,1) e v=(12,-1, 12).
Solução
a) |u|=raiz3,|v|=raiz32 e =12-1+12=0. Daí
cos theta=lang<=u, vrang<=|u| cdot|v|=0raiz3 cdot raiz32=0 e theta=pi2 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, em . Para isso, vamos usar conceitos de produto interno (também conhecido como produto escalar) e normas de vetores. Precisaremos calcular o produto escalar dos vetores e as magnitudes (normas) de cada um deles para aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno de dois vetores. Para dois vetores lang<= u, v rang<= = u1v1 + u2v2 + u3v3 e lang<= u, v rang<= = 1 cdot 12 + 1 cdot (-1) + 1 cdot 12 = 12 - 1 + 12 = 0 em , o produto interno é calculado assim:
Vamos calcular isso para e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou magnitude) de cada vetor. A norma de um vetor |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 é dada por:
|u| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Vamos calcular as normas de |v| = raiz(12)^2 + (-1)^2 + (12)^2 = raiz14 + 1 + 14 = raiz32 = raiz32 e :

Passo 4

Com o produto interno e as normas dos vetores calculados, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo cos theta = lang<= u, v rang<=|u| cdot |v| entre os vetores:
cos theta = 0raiz3 cdot raiz32 = 032 = 0
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o ângulo cos (pi2) = 0 cujo cosseno é 0. Sabemos que:
theta = pi2
Portanto, o ângulo entre os vetores é:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é radianos, ou .

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