São dados os pontos A=(2,1,2), B=(-1,1,-1) e C=(-2,-5,-4).
Os pontos A, B e C formam vértices de um triângulo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . A pergunta é: esses três pontos formam os vértices de um triângulo? Para responder isso, vamos usar conceitos de vetores e verificar se os pontos não estão alinhados, ou seja, se não estão na mesma linha reta.

Passo 2

Para saber se os pontos estão alinhados, vamos calcular os vetores que ligam um ponto aos outros. Primeiro, calculamos o vetor AB = B - A = (-1-2,,1-1,, -1-2) = (-3,,0,,-3) que vai de para :

Passo 3

Agora, calculamos o vetor AC = C - A = (-2-2,, -5-1,, -4-2) = (-4,, -6,,-6) que vai de para :

Passo 4

Para verificar se os pontos estão alinhados, precisamos ver se os vetores AB = k cdot AC e são múltiplos um do outro, ou seja, se existe um número tal que:
Isso significa que cada componente de deve ser igual a multiplicado pela respectiva componente de .

Passo 5

Vamos comparar as componentes dos vetores:
-3 = k cdot (-4) Rightarrow k = 34
0 = k cdot (-6) Rightarrow k = 0
-3 = k cdot (-6) Rightarrow k = 12

Passo 6

Observamos que não existe um único valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Isso significa que os vetores e não são múltiplos um do outro.

Resposta

Como os vetores e não são múltiplos, os pontos , e não estão alinhados e, portanto, formam os vértices de um triângulo.

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