São dados os pontos A=(2,1,2), B=(-1,1,-1) e C=(-2,-5,-4).
Escreva todas as formas possíveis de equações para a reta que passa por B e C. O ponto D=(1,1,2) pertence a essa reta?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá três pontos no espaço: , e . A primeira parte pede para escrever todas as formas possíveis de equações para a reta que passa pelos pontos e . Depois, precisamos verificar se o ponto pertence a essa reta. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a equação da reta que passa por dois pontos, precisamos determinar um vetor diretor da reta. Esse vetor é obtido fazendo a diferença entre as coordenadas dos pontos u = C - B = (-2 - (-1), -5 - 1, -4 - (-1)) = (-1, -6, -3) e :
Esse vetor nos dá a direção da reta.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta. A forma paramétrica usa um ponto conhecido da reta (pode ser x = -1 - t y = 1 - 6t z = -1 - 3t , t in R ou ) e o vetor diretor. Vamos usar o ponto :
Aqui, é o parâmetro que varia, e cada valor de nos dá um ponto diferente na reta.

Passo 4

Outra forma de representar a reta é a forma vetorial. Nessa forma, escrevemos um ponto da reta mais o vetor diretor multiplicado por um parâmetro. Usando o ponto r(t) = -1 1 -1 + t -1 -6 -3 , t in R novamente:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado adicionando múltiplos do vetor diretor ao ponto .

Passo 5

Também podemos escrever a equação simétrica da reta. Para isso, isolamos o parâmetro x + 1-1 = y - 1-6 = z + 1-3 em cada uma das equações paramétricas:
Essa é a forma simétrica, onde igualamos as razões das diferenças das coordenadas ao vetor diretor.

Passo 6

Agora que temos todas as formas possíveis da equação da reta que passa por 1 = -1 - t implies t = -2 e 1 = 1 - 6t implies -6t = 0 implies t = 0 , vamos verificar se o ponto 2 = -1 - 3t implies -3t = 3 implies t = -1 pertence a essa reta. Para isso, substituímos as coordenadas de nas equações paramétricas e vemos se existe um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Substituindo :
Substituindo :
Substituindo :
Observamos que os valores de não são consistentes entre as equações, ou seja, não existe um único que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.

Resposta

O ponto não pertence à reta que passa por e .

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