São dados os pontos e .
Escreva todas as formas possíveis de equações para a reta que passa por e . ponto pertence a essa reta?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá três pontos no espaço: , e . A primeira parte pede para escrever todas as formas possíveis de equações para a reta que passa pelos pontos e . Depois, precisamos verificar se o ponto pertence a essa reta. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a equação da reta que passa por dois pontos, precisamos determinar um vetor diretor da reta. Esse vetor é obtido fazendo a diferença entre as coordenadas dos pontos e :
Esse vetor nos dá a direção da reta.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta. A forma paramétrica usa um ponto conhecido da reta (pode ser ou ) e o vetor diretor. Vamos usar o ponto :
Aqui, é o parâmetro que varia, e cada valor de nos dá um ponto diferente na reta.

Passo 4

Outra forma de representar a reta é a forma vetorial. Nessa forma, escrevemos um ponto da reta mais o vetor diretor multiplicado por um parâmetro. Usando o ponto novamente:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado adicionando múltiplos do vetor diretor ao ponto .

Passo 5

Também podemos escrever a equação simétrica da reta. Para isso, isolamos o parâmetro em cada uma das equações paramétricas:
Essa é a forma simétrica, onde igualamos as razões das diferenças das coordenadas ao vetor diretor.

Passo 6

Agora que temos todas as formas possíveis da equação da reta que passa por e , vamos verificar se o ponto pertence a essa reta. Para isso, substituímos as coordenadas de nas equações paramétricas e vemos se existe um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Substituindo :
Substituindo :
Substituindo :
Observamos que os valores de não são consistentes entre as equações, ou seja, não existe um único que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.

Resposta

O ponto não pertence à reta que passa por e .

Exercícios relacionados

Para cada conjunto abaixo, apresentam-se as definições de soma e multiplicação por escalar. Mostre quais são os espaços vetoriais.
(a) e .
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
© O conjunto , com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do :
a) e .
Solução
a) e . Daí
e
São dados os pontos e .
Os pontos , e formam vértices de um triângulo?