Para cada conjunto
abaixo, apresentam-se as definições de soma e multiplicação por escalar. Mostre quais são os espaços vetoriais.
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um certo conjunto
é um espaço vetorial. A gente está lidando com vetores no espaço tridimensional
, e temos as definições de soma de vetores e multiplicação por escalar específicas para esse conjunto. Para resolver, vamos lembrar o que é preciso para algo ser um espaço vetorial e verificar passo a passo se
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa obedecer a várias propriedades, chamadas de axiomas, em relação à soma de vetores e à multiplicação por escalar. As principais coisas que precisamos checar são:
- Fechamento na soma: Somar dois vetores em
deve dar outro vetor que também está em . - Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor de
por qualquer escalar deve resultar em outro vetor que está em . - Existência do vetor zero: Deve existir um vetor especial, o zero, que nada muda quando somamos ele a qualquer vetor de
. - Existência de inversos aditivos: Para cada vetor em
, deve existir outro vetor que, quando somados, dá o vetor zero. - Associatividade e comutatividade da soma.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores e à soma de escalares.
Vamos verificar essas propriedades com as definições dadas.
Passo 3
Primeiro, vamos olhar para a soma de vetores definida como:
Essa é a soma usual de vetores em
, então ela é bem comportada e satisfaz todas as propriedades de soma que a gente precisa para um espaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos para a multiplicação por escalar definida como:
Ou seja, não importa qual seja o vetor
nem qual seja o escalar
, o resultado da multiplicação sempre será o vetor zero.
Passo 5
Vamos verificar a propriedade de fechamento na multiplicação por escalar. Para ser um espaço vetorial, multiplicar qualquer vetor por qualquer escalar deve resultar em outro vetor que também está em
. Aqui, sempre que multiplicamos, obtemos o vetor zero. Então, isso está ok, desde que o vetor zero esteja em
.
Passo 6
Agora, vamos checar a existência do vetor zero. Pelo enunciado, temos que a multiplicação por qualquer escalar resulta no vetor zero. Isso implica que o vetor zero deve estar em
.
Passo 7
Verifiquemos a existência de inversos aditivos. Para cada vetor
em
, precisa existir um vetor
em
tal que
. Como a soma de dois vetores quaisquer em
dá outro vetor em
, e a multiplicação por escalar sempre dá zero, os inversos aditivos também satisfazem essa condição.
Passo 8
As propriedades de associatividade e comutatividade da soma, bem como a distributividade da multiplicação por escalar, já estão garantidas pela definição usual de soma em
, que estamos usando aqui.
Resposta
Então, todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial estão satisfeitas com as definições dadas. Portanto, o conjunto
é um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
© O conjunto , com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
© O conjunto
Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de
.
(b)
(b)
São dados os pontos
e
.
Escreva todas as formas possíveis de equações para a reta que passa por e
.
ponto
pertence a essa reta?
Escreva todas as formas possíveis de equações para a reta que passa por
Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do
:
a) e
.
Solução
a) e
. Daí
e
a)
Solução
a)