Para cada conjunto abaixo, apresentam-se as definições de soma e multiplicação por escalar. Mostre quais são os espaços vetoriais.
(a) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um certo conjunto é um espaço vetorial. A gente está lidando com vetores no espaço tridimensional , e temos as definições de soma de vetores e multiplicação por escalar específicas para esse conjunto. Para resolver, vamos lembrar o que é preciso para algo ser um espaço vetorial e verificar passo a passo se satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa obedecer a várias propriedades, chamadas de axiomas, em relação à soma de vetores e à multiplicação por escalar. As principais coisas que precisamos checar são:
  1. Fechamento na soma: Somar dois vetores em deve dar outro vetor que também está em .
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor de por qualquer escalar deve resultar em outro vetor que está em .
  3. Existência do vetor zero: Deve existir um vetor especial, o zero, que nada muda quando somamos ele a qualquer vetor de .
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor em , deve existir outro vetor que, quando somados, dá o vetor zero.
  5. Associatividade e comutatividade da soma.
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores e à soma de escalares.
Vamos verificar essas propriedades com as definições dadas.

Passo 3

Primeiro, vamos olhar para a soma de vetores definida como:
Essa é a soma usual de vetores em , então ela é bem comportada e satisfaz todas as propriedades de soma que a gente precisa para um espaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos para a multiplicação por escalar definida como:
Ou seja, não importa qual seja o vetor nem qual seja o escalar , o resultado da multiplicação sempre será o vetor zero.

Passo 5

Vamos verificar a propriedade de fechamento na multiplicação por escalar. Para ser um espaço vetorial, multiplicar qualquer vetor por qualquer escalar deve resultar em outro vetor que também está em . Aqui, sempre que multiplicamos, obtemos o vetor zero. Então, isso está ok, desde que o vetor zero esteja em .

Passo 6

Agora, vamos checar a existência do vetor zero. Pelo enunciado, temos que a multiplicação por qualquer escalar resulta no vetor zero. Isso implica que o vetor zero deve estar em .

Passo 7

Verifiquemos a existência de inversos aditivos. Para cada vetor em , precisa existir um vetor em tal que . Como a soma de dois vetores quaisquer em dá outro vetor em , e a multiplicação por escalar sempre dá zero, os inversos aditivos também satisfazem essa condição.

Passo 8

As propriedades de associatividade e comutatividade da soma, bem como a distributividade da multiplicação por escalar, já estão garantidas pela definição usual de soma em , que estamos usando aqui.

Resposta

Então, todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial estão satisfeitas com as definições dadas. Portanto, o conjunto é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
© O conjunto , com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de .
(b)
São dados os pontos e .
Escreva todas as formas possíveis de equações para a reta que passa por e . ponto pertence a essa reta?
Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do :
a) e .
Solução
a) e . Daí
e