Em que ponto a reta que passa por A=(1,0,1) e B=(-2,2,3) intersecta o plano y z ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a reta que passa pelos pontos e cruza o plano . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de reta e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar encontrar a equação da reta que liga e e depois determinar onde essa reta intercepta o plano .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta que passa por d = B - A = (-2 - 1, , 2 - 0, , 3 - 1) = (-3, , 2, , 2) e x = 1 - 3t . Para isso, calculamos o vetor diretor da reta, que é a diferença entre as coordenadas de y = 0 + 2t e z = 1 + 2t :
Então, a equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

Agora, sabemos que o plano 0 = 1 - 3t é o conjunto de pontos onde a coordenada 3t = 1 implies t = 13 é zero. Ou seja, para encontrar a interseção, vamos igualar a equação de a zero e resolver para :
Resolvendo para :

Passo 4

Com o valor de y = 2t = 2 ( 13 ) = 23 encontrado, substituímos esse valor nas equações de z = 1 + 2t = 1 + 2 ( 13 ) = 1 + 23 = 53 e para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

A reta que passa por e intersecta o plano no ponto .

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