Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do
.
a)
;
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar o ângulo entre dois pares de vetores no espaço tridimensional
. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar (ou produto interno) entre vetores e a fórmula que relaciona o produto escalar com o cosseno do ângulo entre eles. Precisamos saber como calcular o produto escalar e as magnitudes (normas) dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores
e
. A fórmula é:
Esse produto escalar nos ajuda a encontrar o cosseno do ângulo
entre os vetores pela relação:
Onde
e
são as normas (ou magnitudes) dos vetores, calculadas por:
Passo 3
Vamos resolver a parte a) do exercício:
Passo 4
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 5
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Passo 6
Como o produto escalar é zero, isso significa que o cosseno do ângulo é zero:
E sabemos que
quando o ângulo
.
Passo 7
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
Passo 8
Calculamos o produto escalar
:
Passo 9
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Passo 10
Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo:
Agora, para achar o ângulo
, tiramos o arco cosseno:
Resposta
a) O ângulo entre
e
é
.
b) O ângulo entre
e
é
.
Exercícios relacionados
) Demonstre por indução que:
a) , com
b) , com
a)
b)
Consideremos o espaço vetorial
. Sendo
e
, determine um vetor
deste espaço vetorial tal que
, em relação ao produto internousual.
Se
é um inteiro cujo resto da divisão por 6 é 5 . Mostre que o resto da divisão de
por 3 é 2 .
Determinar a Projeção ortogonal de
sobre o Subespaço
de
.