Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do .
a) ;
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar o ângulo entre dois pares de vetores no espaço tridimensional . Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar (ou produto interno) entre vetores e a fórmula que relaciona o produto escalar com o cosseno do ângulo entre eles. Precisamos saber como calcular o produto escalar e as magnitudes (normas) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores e . A fórmula é:
Esse produto escalar nos ajuda a encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores pela relação:
Onde e são as normas (ou magnitudes) dos vetores, calculadas por:

Passo 3

Vamos resolver a parte a) do exercício:

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto escalar :

Passo 5

Agora, calculamos as normas dos vetores:

Passo 6

Como o produto escalar é zero, isso significa que o cosseno do ângulo é zero:
E sabemos que quando o ângulo .

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:

Passo 8

Calculamos o produto escalar :

Passo 9

Agora, calculamos as normas dos vetores:

Passo 10

Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo:
Agora, para achar o ângulo , tiramos o arco cosseno:

Resposta

a) O ângulo entre e é .
b) O ângulo entre e é .

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) Demonstre por indução que:
a) , com
b) , com
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