Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do R^3.
a) u=(1,1,1) v=(12,-1, 12);
b) u=(1,-1,0) v=(2,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar o ângulo entre dois pares de vetores no espaço tridimensional R^3. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar (ou produto interno) entre vetores e a fórmula que relaciona o produto escalar com o cosseno do ângulo entre eles. Precisamos saber como calcular o produto escalar e as magnitudes (normas) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3). A fórmula é:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Esse produto escalar nos ajuda a encontrar o cosseno do ângulo theta entre os vetores pela relação:
cos theta = u cdot v||u|| cdot ||v||
Onde ||u|| e ||v|| são as normas (ou magnitudes) dos vetores, calculadas por:
||u|| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2

Passo 3

Vamos resolver a parte a) do exercício:
u = (1, 1, 1) v = (12, -1, 12)

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = 1 cdot 12 + 1 cdot (-1) + 1 cdot 12 = 12 - 1 + 12 = 0

Passo 5

Agora, calculamos as normas dos vetores:
||u|| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
||v|| = raiz(12)^2 + (-1)^2 + (12)^2 = raiz14 + 1 + 14 = raiz32 = raiz62

Passo 6

Como o produto escalar é zero, isso significa que o cosseno do ângulo é zero:
cos theta = 0raiz3 cdot raiz62 = 0
E sabemos que cos theta = 0 quando o ângulo theta = 90^circ.

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
u = (1, -1, 0) v = (2, -1, 2)

Passo 8

Calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = 1 cdot 2 + (-1) cdot (-1) + 0 cdot 2 = 2 + 1 + 0 = 3

Passo 9

Agora, calculamos as normas dos vetores:
||u|| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
||v|| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 10

Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo:
cos theta = 3raiz2 cdot 3 = 33raiz2 = 1raiz2 approx 0,7071
Agora, para achar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = cos^-1(1raiz2) = 45^circ

Resposta

a) O ângulo entre u=(1,1,1) e v=(12,-1, 12) é 90^circ.
b) O ângulo entre u=(1,-1,0) e v=(2,-1,2) é 45^circ.

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