Determinar a Projeção ortogonal de u=(1,1) sobre o Subespaço W=[(1,3)] de R^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a projeção ortogonal do vetor u = (1,1) sobre o subespaço W que é gerado pelo vetor (1,3) em R^2.
Conteúdo da matéria: Projeção vetorial em álgebra linear.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a fórmula da projeção ortogonal de um vetor sobre outro.
  • Saber calcular o produto escalar entre vetores.
  • Entender como aplicar a fórmula para encontrar a projeção.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da projeção de um vetor u sobre um vetor v:
Projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores u e v, e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo.

Passo 3

Identificamos os vetores:
  • u = (1,1)
  • v = (1,3) (já que W é gerado por (1,3))
Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(1) + (1)(3) = 1 + 3 = 4

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar v cdot v:
v cdot v = (1)(1) + (3)(3) = 1 + 9 = 10

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da projeção:
Projv u = ( 410 ) v = ( 25 ) (1,3)
Multiplicando o escalar pelo vetor:
( 25 ) (1,3) = ( 25 times 1, 25 times 3 ) = ( 25, 65 )

Resposta

A projeção ortogonal de u = (1,1) sobre o subespaço W = [(1,3)] é ( dfrac25, dfrac65 ).

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