Determinar a Projeção ortogonal de
sobre o Subespaço
de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a projeção ortogonal do vetor
sobre o subespaço
que é gerado pelo vetor
em
.
Conteúdo da matéria: Projeção vetorial em álgebra linear.
O que vamos precisar:
- Conhecer a fórmula da projeção ortogonal de um vetor sobre outro.
- Saber calcular o produto escalar entre vetores.
- Entender como aplicar a fórmula para encontrar a projeção.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da projeção de um vetor
sobre um vetor
:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo.
Passo 3
Identificamos os vetores:
-
-
(já que é gerado por )
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da projeção:
Multiplicando o escalar pelo vetor:
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre o subespaço
é
.