) Demonstre por indução que:
a) , com
b) , com

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrar, usando indução matemática, que o número 7 divide para todo . Isso está relacionado aos conceitos de divisibilidade e indução matemática. Para resolver, vamos precisar verificar a base da indução e depois mostrar que, se a afirmação for verdadeira para algum , ela também será para .

Passo 2

Base da Indução: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para .
Calculando:
Como 0 é divisível por qualquer número, incluindo 7, a base da indução está ok!

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para algum , ou seja:
Isso significa que existe um número inteiro tal que:

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para . Vamos calcular :
Agora, reescrevemos:
Pela hipótese de indução, sabemos que . Então:
Isso mostra que é múltiplo de 7.

Resposta

Portanto, por indução matemática, concluímos que divide para todo .

Exercícios relacionados

Consideremos o espaço vetorial . Sendo e , determine um vetor deste espaço vetorial tal que , em relação ao produto internousual.
Sendo , então podemos afirmar que:
(a) é uma matriz quadrada de ordem 4 ;
(b) é uma matriz diagonal;
©
(d) ;
(e) A matriz inversa de é .
Justifique todos os itens acima.
Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do .
a) ;
b) .
Se é um inteiro cujo resto da divisão por 6 é 5 . Mostre que o resto da divisão de por 3 é 2 .