) Demonstre por indução que:
a) 7 mid(2^3 n-1), com (n >= 0)
b) 17 mid(3^4 n+2+2.4^3 n+1), com (n >= 0)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrar, usando indução matemática, que o número 7 divide para todo . Isso está relacionado aos conceitos de divisibilidade e indução matemática. Para resolver, vamos precisar verificar a base da indução e depois mostrar que, se a afirmação for verdadeira para algum , ela também será para .

Passo 2

Base da Indução: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para 2^3 cdot 0 - 1 = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0 .
Calculando:
Como 0 é divisível por qualquer número, incluindo 7, a base da indução está ok!

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para algum 7 mid (2^3k - 1) , ou seja:
2^3k - 1 = 7m
Isso significa que existe um número inteiro tal que:

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para 2^3(k + 1) - 1 = 2^3k + 3 - 1 = 2^3k cdot 2^3 - 1 = 8 cdot 2^3k - 1 . Vamos calcular 8 cdot 2^3k - 1 = 7 cdot 2^3k + 2^3k - 1 :
7 cdot 2^3k + (2^3k - 1) = 7 cdot 2^3k + 7m = 7(2^3k + m)
Agora, reescrevemos:
Pela hipótese de indução, sabemos que . Então:
Isso mostra que é múltiplo de 7.

Resposta

Portanto, por indução matemática, concluímos que divide para todo .

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