) Demonstre por indução que:
a)
, com
b)
, com
a)
b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrar, usando indução matemática, que o número 7 divide
para todo
. Isso está relacionado aos conceitos de divisibilidade e indução matemática. Para resolver, vamos precisar verificar a base da indução e depois mostrar que, se a afirmação for verdadeira para algum
, ela também será para
.
Passo 2
Base da Indução: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para
.
Calculando:
Como 0 é divisível por qualquer número, incluindo 7, a base da indução está ok!
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para algum
, ou seja:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
. Vamos calcular
:
Agora, reescrevemos:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Então:
Isso mostra que
é múltiplo de 7.
Resposta
Portanto, por indução matemática, concluímos que
divide
para todo
.