) Demonstre por indução que:
a)
, com
b)
, com
a)
b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrar, usando indução matemática, que o número 7 divide
para todo
. Isso está relacionado aos conceitos de divisibilidade e indução matemática. Para resolver, vamos precisar verificar a base da indução e depois mostrar que, se a afirmação for verdadeira para algum
, ela também será para
.
Passo 2
Base da Indução: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para
.
Calculando:
Como 0 é divisível por qualquer número, incluindo 7, a base da indução está ok!
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para algum
, ou seja:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
. Vamos calcular
:
Agora, reescrevemos:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Então:
Isso mostra que
é múltiplo de 7.
Resposta
Portanto, por indução matemática, concluímos que
divide
para todo
.
Exercícios relacionados
Consideremos o espaço vetorial
. Sendo
e
, determine um vetor
deste espaço vetorial tal que
, em relação ao produto internousual.
Sendo
, então podemos afirmar que:
(a) é uma matriz quadrada de ordem 4 ;
(b) é uma matriz diagonal;
©
(d) ;
(e) A matriz inversa de é
.
Justifique todos os itens acima.
(a)
(b)
©
(d)
(e) A matriz inversa de
Justifique todos os itens acima.
Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do
.
a) ;
b) .
a)
b)
Se
é um inteiro cujo resto da divisão por 6 é 5 . Mostre que o resto da divisão de
por 3 é 2 .