Consideremos o espaço vetorial
. Sendo
e
, determine um vetor
deste espaço vetorial tal que
, em relação ao produto internousual.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um vetor
no espaço vetorial
tal que o produto interno de
com
seja
e o produto interno de
com
seja
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e produto interno, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é produto interno. No espaço
, o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores
e
é dado por:
Isso significa que vamos multiplicar as componentes correspondentes dos vetores e somar os resultados.
Passo 3
Vamos chamar
. Agora, aplicando o produto interno conforme o enunciado:
- Para
e :
Isso nos dá a equação:
- Para
e :
Isso nos dá a equação:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar
:
Agora que temos o valor de
, substituímos na Equação 2 para encontrar
:
Resposta
O vetor
que satisfaz as condições do exercício é: