Consideremos o espaço vetorial R^2. Sendo u=(1,2) e v=(-1,1), determine um vetor w deste espaço vetorial tal que lang<=u, wrang<==-1 elang<=v, wrang<==3, em relação ao produto internousual.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um vetor no espaço vetorial tal que o produto interno de com seja e o produto interno de com seja . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e produto interno, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é produto interno. No espaço lang<= a, b rang<= = a1b1 + a2b2 , o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores e é dado por:
Isso significa que vamos multiplicar as componentes correspondentes dos vetores e somar os resultados.

Passo 3

Vamos chamar lang<= u, w rang<= = 1 cdot x + 2 cdot y = -1 . Agora, aplicando o produto interno conforme o enunciado:
  1. Para x + 2y = -1 (Equação 1) e lang<= v, w rang<= = (-1) cdot x + 1 cdot y = 3 :
- x + y = 3 (Equação 2)
Isso nos dá a equação:
çã
  1. Para e :
Isso nos dá a equação:
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
x + 2y = -1 (Equação 1) - x + y = 3 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar (x + 2y) + (-x + y) = -1 + 3 :
3y = 2 implies y = 23
- x + 23 = 3
Agora que temos o valor de - x = 3 - 23 = 73 implies x = -73 , substituímos na Equação 2 para encontrar :

Resposta

O vetor w = ( -73, 23 ) que satisfaz as condições do exercício é:

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