Consideremos o espaço vetorial . Sendo e , determine um vetor deste espaço vetorial tal que , em relação ao produto internousual.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um vetor no espaço vetorial tal que o produto interno de com seja e o produto interno de com seja . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e produto interno, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é produto interno. No espaço , o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores e é dado por:
Isso significa que vamos multiplicar as componentes correspondentes dos vetores e somar os resultados.

Passo 3

Vamos chamar . Agora, aplicando o produto interno conforme o enunciado:
  1. Para e :
Isso nos dá a equação:
çã
  1. Para e :
Isso nos dá a equação:
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :
Agora que temos o valor de , substituímos na Equação 2 para encontrar :

Resposta

O vetor que satisfaz as condições do exercício é:

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Sendo , então podemos afirmar que:
(a) é uma matriz quadrada de ordem 4 ;
(b) é uma matriz diagonal;
©
(d) ;
(e) A matriz inversa de é .
Justifique todos os itens acima.
Usando algoritmo de Euclides, justifique que todo número inteiro pode ser representado da forma se for par e se for ímpar.
) Demonstre por indução que:
a) , com
b) , com
Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores do .
a) ;
b) .