Achar a área da região limitada pelo gráfico de , a tangente ao gráfico de no ponto e o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelo gráfico da função , pela reta (que é o eixo Y), pela tangente ao gráfico de no ponto , e também pelo próprio eixo Y. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a equação da tangente e integrais para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da tangente à curva no ponto . Para isso, precisamos calcular a derivada de , que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto.
A derivada de é:
No ponto , a inclinação da tangente é:
Agora que temos a inclinação, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
Onde é a inclinação e é o ponto de tangência. Substituindo:
Então, a equação da tangente é .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os pontos onde essas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Temos três curvas:
  1. A tangente
  2. O eixo Y
Primeiro, vamos achar a interseção entre e a tangente:
Portanto, elas se intersectam apenas no ponto .
Em seguida, vamos achar onde a função intercepta o eixo Y, ou seja, quando :
Então, temos o ponto .
Finalmente, a tangente intercepta o eixo Y quando :
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 4

Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar a região . Ela é limitada pelas curvas entre e . Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores nesse intervalo.
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra:
  • Entre e , a tangente está acima da fun��ão .
Então, a área será:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(m) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(h) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(l) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(q) e .