Achar a área da região
limitada pelo gráfico de
, a tangente ao gráfico de
no ponto
e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região
que está limitada pelo gráfico da função
, pela reta
(que é o eixo Y), pela tangente ao gráfico de
no ponto
, e também pelo próprio eixo Y. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a equação da tangente e integrais para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da tangente à curva
no ponto
. Para isso, precisamos calcular a derivada de
, que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto.
A derivada de
é:
No ponto
, a inclinação da tangente é:
Agora que temos a inclinação, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
Onde
é a inclinação e
é o ponto de tangência. Substituindo:
Então, a equação da tangente é
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os pontos onde essas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Temos três curvas:
-
- A tangente
- O eixo Y
Primeiro, vamos achar a interseção entre
e a tangente:
Portanto, elas se intersectam apenas no ponto
.
Em seguida, vamos achar onde a função
intercepta o eixo Y, ou seja, quando
:
Então, temos o ponto
.
Finalmente, a tangente intercepta o eixo Y quando
:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar a região
. Ela é limitada pelas curvas entre
e
. Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores nesse intervalo.
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra:
- Entre
e , a tangente está acima da fun��ão .
Então, a área
será:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(m) e
.
(m)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(h) e
.
(h)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(l) e
.
(l)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(q) e
.
(q)