Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(h) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas , e . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente, integração para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber onde elas se cortam no plano. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar onde se iguala a :
Multiplicando ambos os lados por :
Quando , .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde se iguala a :
Multiplicando ambos os lados por :
Quando , .

Passo 5

Também observamos que e se intersectam em :
Então, é o ponto de interseção.

Passo 6

Agora que temos os pontos de interseção: , e , vamos identificar qual curva está acima da outra em cada intervalo para configurar a integral corretamente.

Passo 7

Entre e , está acima de , então a área entre essas curvas nesse intervalo é:

Passo 8

Calculando a integral:
Avaliaremos de a :

Passo 9

A área entre e é limitada pelas curvas e :

Passo 10

Somando as duas áreas:

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(e) e .
Calcule as integrais definidas:
(g)
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(m) e .
Achar a área da região limitada pelo gráfico de , a tangente ao gráfico de no ponto e o eixo .