Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(l) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que tá limitada pelas três linhas: , e . Para isso, vamos precisar descobrir onde essas retas se cruzam umas com as outras, formando os vértices da região, e depois calcular a área desse polígono formado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto de interseção entre as retas e . Como , podemos substituir por na primeira equação:
Então, . Portanto, o primeiro ponto de interseção é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre as retas e . Substituindo por na segunda equação:
Então, . O segundo ponto de interseção é .
Passo 4
Por último, vamos achar o ponto de interseção entre as retas e . Podemos resolver esse sistema de equações. Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então, o terceiro ponto de interseção é .
Passo 5
Agora que temos os três vértices da região : , e , vamos calcular a área do triângulo formado por esses pontos.
A fórmula para a área de um triângulo com vértices , e é: