Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(q) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas duas curvas:
  1. – que é um círculo com raio 2 e centro na origem .
  2. – que também é um círculo, mas quando arrumamos fica com raio 2 e centro no ponto .
Vamos precisar usar um pouco de geometria de círculos e cálculo para achar a área dessa região onde os dois círculos se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as duas equações.
A primeira equação é um círculo com raio 2 e centro na origem .
A segunda equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que é um círculo com raio 2 e centro em .

Passo 3

Agora, vamos visualizar esses dois círculos. Ambos têm raio 2 e estão separados por uma distância de 2 unidades (porque um está no e o outro no ).
Quando dois círculos de mesmos raios se sobrepõem dessa maneira, a área da região de interseção forma uma forma de “lente” ou “olho”.

Passo 4

Para encontrar a área dessa região de sobreposição, usamos uma fórmula específica para o caso de dois círculos com raio e distância entre os centros :
Á
No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
Á
Simplificando:
Á
Á
Sabemos que e , então:
Á
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(l) e .
Achar a área da região limitada pelo gráfico de , a tangente ao gráfico de no ponto e o eixo .
(b) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(n) e .