Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(q)
e
.
(q)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região
que está limitada pelas duas curvas:
-
– que é um círculo com raio 2 e centro na origem . -
– que também é um círculo, mas quando arrumamos fica com raio 2 e centro no ponto .
Vamos precisar usar um pouco de geometria de círculos e cálculo para achar a área dessa região onde os dois círculos se sobrepõem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as duas equações.
A primeira equação
é um círculo com raio 2 e centro na origem
.
A segunda equação
pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que é um círculo com raio 2 e centro em
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar esses dois círculos. Ambos têm raio 2 e estão separados por uma distância de 2 unidades (porque um está no
e o outro no
).
Quando dois círculos de mesmos raios se sobrepõem dessa maneira, a área da região de interseção forma uma forma de “lente” ou “olho”.
Passo 4
Para encontrar a área dessa região de sobreposição, usamos uma fórmula específica para o caso de dois círculos com raio
e distância entre os centros
:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Simplificando:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(l) e
.
(l)
Achar a área da região
limitada pelo gráfico de
, a tangente ao gráfico de
no ponto
e o eixo
.
(b)
e
.
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(n) e
.
(n)