Achar os auto-valores e os auto-vetores do operador dado por:
b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz , se existe um número e um vetor não nulo tal que , então é um autovalor e é o autovetor associado a .
Passo 3
Agora, vamos representar o operador como uma matriz. Dado que , a matriz de é:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz , que é dada por:
Onde é a matriz identidade.
Passo 5
Calculando a equação característica:
Então, o determinante é:
Resolvendo, temos:
Então, o único autovalor é , com multiplicidade 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o autovetor associado a . Precisamos resolver:
Calculando :
Isso nos diz que qualquer vetor não nulo satisfaz a equação, ou seja, todos os vetores não nulos de são autovetores associados a .
Resposta
O operador tem um único autovalor , e todos os vetores não nulos de são autovetores correspondentes a esse autovalor.