Achar os auto-valores e os auto-vetores do operador
dado por:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores do operador linear
definido por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz
, se existe um número
e um vetor não nulo
tal que
, então
é um autovalor e
é o autovetor associado a
.
Passo 3
Agora, vamos representar o operador
como uma matriz. Dado que
, a matriz de
é:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz
, que é dada por:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 5
Calculando a equação característica:
Então, o determinante é:
Resolvendo, temos:
Então, o único autovalor é
, com multiplicidade 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o autovetor associado a
. Precisamos resolver:
Calculando
:
Isso nos diz que qualquer vetor não nulo
satisfaz a equação, ou seja, todos os vetores não nulos de
são autovetores associados a
.
Resposta
O operador
tem um único autovalor
, e todos os vetores não nulos de
são autovetores correspondentes a esse autovalor.