Achar os auto-valores e os auto-vetores do operador T: R^2 R^2 dado por:
b) T(x, y)=(-x,-y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz , se existe um número e um vetor não nulo tal que , então é um autovalor e é o autovetor associado a .

Passo 3

Agora, vamos representar o operador A = -1 & 0 0 & -1 como uma matriz. Dado que , a matriz de é:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz det(A - lambda I) = 0 , que é dada por:
Onde é a matriz identidade.

Passo 5

Calculando a equação característica:
A - lambda I = -1 - lambda & 0 0 & -1 - lambda
Então, o determinante é:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(-1 - lambda) = (lambda + 1)^2 = 0
Resolvendo, temos:
lambda + 1 = 0 implies lambda = -1
Então, o único autovalor é , com multiplicidade 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autovetor associado a (A - (-1)I)v = 0 implies (A + I)v = 0 . Precisamos resolver:
A + I = -1 + 1 & 0 0 & -1 + 1 = 0 & 0 0 & 0
Calculando :
Isso nos diz que qualquer vetor não nulo satisfaz a equação, ou seja, todos os vetores não nulos de são autovetores associados a .

Resposta

O operador tem um único autovalor , e todos os vetores não nulos de são autovetores correspondentes a esse autovalor.

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