Achar os auto-valores e os auto-vetores do operador dado por:
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz , se existe um número e um vetor não nulo tal que , então é um autovalor e é o autovetor associado a .

Passo 3

Agora, vamos representar o operador como uma matriz. Dado que , a matriz de é:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz , que é dada por:
Onde é a matriz identidade.

Passo 5

Calculando a equação característica:
Então, o determinante é:
Resolvendo, temos:
Então, o único autovalor é , com multiplicidade 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autovetor associado a . Precisamos resolver:
Calculando :
Isso nos diz que qualquer vetor não nulo satisfaz a equação, ou seja, todos os vetores não nulos de são autovetores associados a .

Resposta

O operador tem um único autovalor , e todos os vetores não nulos de são autovetores correspondentes a esse autovalor.

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Calcule o determinante das matrizes
Note que usando o que foi visto em sala de aula, o determinante das matrizes de ) e ) podem ser calculados com muito poucas contas, ou mesmo sem cálculo algum no caso c).
Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
e) Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas por . Seja e a transformação linear dada por . Mostre que .
Seja um espaço vetorial finitamente gerado sobre com produto interno.
a) Mostre que se é um operador auto-adjunto, então seus auto-valores são reais. (Use que se é um auto-vetor, então e .
a) Determinar , inversível, tal que seja diagonal onde
Determinar .