Seja V um espaço vetorial finitamente gerado sobre C com produto interno.
a) Mostre que se A: V V é um operador auto-adjunto, então seus auto-valores são reais. (Use que se u in V é um auto-vetor, então A u=lambda u e lang<= A u, urang<==lang<= u, A urang<=).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial finitamente gerado sobre os números complexos, com um produto interno. A questão quer que a gente mostre que se o operador é auto-adjunto (ou seja, ), então os seus autovalores são números reais. Para isso, vamos usar que se é um autovetor de , então e que .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que é um autovetor de com autovalor . Isso significa que .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= A u, u rang<= = lang<= lambda u, u rang<= = lambda lang<= u, u rang<= . Substituindo por , temos:
Aqui, usamos a propriedade de que podemos “tirar” o escalar para fora do produto interno.

Passo 4

Por outro lado, como lang<= u, A u rang<= = lang<= u, lambda u rang<= = lambda lang<= u, u rang<= é auto-adjunto, sabemos que . Substituindo novamente por :
Aqui, usamos que, no produto interno sobre os números complexos, puxar o escalar para o outro lado conjuga o número.

Passo 5

Agora, temos que:
lambda lang<= u, u rang<= = lambda lang<= u, u rang<=
Como lambda = lambda é um autovetor não nulo, . Podemos então dividir ambos os lados por , ficando:

Passo 6

A igualdade significa que é igual ao seu próprio conjugado complexo. Isso só acontece se for um número real.

Resposta

Portanto, os autovalores de são reais.

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