Seja um espaço vetorial finitamente gerado sobre com produto interno.
a) Mostre que se é um operador auto-adjunto, então seus auto-valores são reais. (Use que se é um auto-vetor, então e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial finitamente gerado sobre os números complexos, com um produto interno. A questão quer que a gente mostre que se o operador é auto-adjunto (ou seja, ), então os seus autovalores são números reais. Para isso, vamos usar que se é um autovetor de , então e que .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que é um autovetor de com autovalor . Isso significa que .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno . Substituindo por , temos:
Aqui, usamos a propriedade de que podemos “tirar” o escalar para fora do produto interno.

Passo 4

Por outro lado, como é auto-adjunto, sabemos que . Substituindo novamente por :
Aqui, usamos que, no produto interno sobre os números complexos, puxar o escalar para o outro lado conjuga o número.

Passo 5

Agora, temos que:
Como é um autovetor não nulo, . Podemos então dividir ambos os lados por , ficando:

Passo 6

A igualdade significa que é igual ao seu próprio conjugado complexo. Isso só acontece se for um número real.

Resposta

Portanto, os autovalores de são reais.

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Achar os auto-valores e os auto-vetores do operador dado por:
b) .
Calcule o determinante das matrizes
Note que usando o que foi visto em sala de aula, o determinante das matrizes de ) e ) podem ser calculados com muito poucas contas, ou mesmo sem cálculo algum no caso c).
a) Determinar , inversível, tal que seja diagonal onde
Determinar .
Seja um espaço vetorial finitamente gerado sobre com produto interno.
b) Mostre que se é uma isometria, então seus auto-valores têm módulo 1 . (Use que se é um auto-vetor, então e .