Seja um espaço vetorial finitamente gerado sobre com produto interno.
a) Mostre que se é um operador auto-adjunto, então seus auto-valores são reais. (Use que se é um auto-vetor, então e .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial finitamente gerado sobre os números complexos, com um produto interno. A questão quer que a gente mostre que se o operador é auto-adjunto (ou seja, ), então os seus autovalores são números reais. Para isso, vamos usar que se é um autovetor de , então e que .
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que é um autovetor de com autovalor . Isso significa que .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno . Substituindo por , temos:
Aqui, usamos a propriedade de que podemos “tirar” o escalar para fora do produto interno.
Passo 4
Por outro lado, como é auto-adjunto, sabemos que . Substituindo novamente por :
Aqui, usamos que, no produto interno sobre os números complexos, puxar o escalar para o outro lado conjuga o número.
Passo 5
Agora, temos que:
Como é um autovetor não nulo, . Podemos então dividir ambos os lados por , ficando:
Passo 6
A igualdade significa que é igual ao seu próprio conjugado complexo. Isso só acontece se for um número real.