Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
e) Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas por . Seja e a transformação linear dada por . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o determinante do operador linear que atua no espaço das matrizes quadradas . Isso está dentro do tópico de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo transformações lineares e determinantes. Para resolver, vamos entender como funciona e por que seu determinante é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que faz. A transformação linear é definida por , onde e são matrizes . Essa operação é conhecida como o comutador de e .

Passo 3

Sabemos que o espaço das matrizes tem dimensão , ou seja, podemos pensar em como uma matriz . Porém, queremos mostrar que o determinante de é zero, o que implica que não é invertível.

Passo 4

Para mostrar que , basta encontrarmos um vetor não nulo no espaço das matrizes que seja enviado para o vetor zero por . Em outras palavras, queremos achar uma matriz diferente de zero tal que .

Passo 5

Vamos considerar a própria matriz . Vamos calcular :
Então, é um vetor não nulo (supondo que não seja a matriz zero) que satisfaz .

Passo 6

A existência de um vetor não nulo que é mapeado para zero por significa que tem um núcleo não trivial. Isso implica que não é injetora, e, consequentemente, não é invertível.

Passo 7

Se uma transformação linear não é invertível, seu determinante é zero. Portanto, temos que:

Resposta

O determinante de é zero, ou seja, .

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Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
d) Seja um espaço vetorial sobre finitamente gerado. Seja uma transformação linear tal que . Quais são os possíveis valores de ?
Seja uma matriz cujas linhas são . Como em sala de aula denotamos . Usando a linearidade em cada uma das linhas ( -linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
b) Prove que .
Calcule o determinante das matrizes
Note que usando o que foi visto em sala de aula, o determinante das matrizes de ) e ) podem ser calculados com muito poucas contas, ou mesmo sem cálculo algum no caso c).
Achar os auto-valores e os auto-vetores do operador dado por:
b) .