Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
e) Seja
o espaço vetorial das matrizes quadradas
por
. Seja
e
a transformação linear dada por
. Mostre que
.
e) Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o determinante do operador linear
que atua no espaço das matrizes quadradas
. Isso está dentro do tópico de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo transformações lineares e determinantes. Para resolver, vamos entender como
funciona e por que seu determinante é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
faz. A transformação linear
é definida por
, onde
e
são matrizes
. Essa operação é conhecida como o comutador de
e
.
Passo 3
Sabemos que o espaço das matrizes
tem dimensão
, ou seja, podemos pensar em
como uma matriz
. Porém, queremos mostrar que o determinante de
é zero, o que implica que
não é invertível.
Passo 4
Para mostrar que
, basta encontrarmos um vetor não nulo no espaço das matrizes
que seja enviado para o vetor zero por
. Em outras palavras, queremos achar uma matriz
diferente de zero tal que
.
Passo 5
Vamos considerar a própria matriz
. Vamos calcular
:
Então,
é um vetor não nulo (supondo que
não seja a matriz zero) que satisfaz
.
Passo 6
A existência de um vetor não nulo que é mapeado para zero por
significa que
tem um núcleo não trivial. Isso implica que
não é injetora, e, consequentemente, não é invertível.
Passo 7
Se uma transformação linear não é invertível, seu determinante é zero. Portanto, temos que:
Resposta
O determinante de
é zero, ou seja,
.