Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
e) Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas por . Seja e a transformação linear dada por . Mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o determinante do operador linear que atua no espaço das matrizes quadradas . Isso está dentro do tópico de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo transformações lineares e determinantes. Para resolver, vamos entender como funciona e por que seu determinante é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que faz. A transformação linear é definida por , onde e são matrizes . Essa operação é conhecida como o comutador de e .
Passo 3
Sabemos que o espaço das matrizes tem dimensão , ou seja, podemos pensar em como uma matriz . Porém, queremos mostrar que o determinante de é zero, o que implica que não é invertível.
Passo 4
Para mostrar que , basta encontrarmos um vetor não nulo no espaço das matrizes que seja enviado para o vetor zero por . Em outras palavras, queremos achar uma matriz diferente de zero tal que .
Passo 5
Vamos considerar a própria matriz . Vamos calcular :
Então, é um vetor não nulo (supondo que não seja a matriz zero) que satisfaz .
Passo 6
A existência de um vetor não nulo que é mapeado para zero por significa que tem um núcleo não trivial. Isso implica que não é injetora, e, consequentemente, não é invertível.
Passo 7
Se uma transformação linear não é invertível, seu determinante é zero. Portanto, temos que: