Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
e) Seja V=Mn(F) o espaço vetorial das matrizes quadradas n por n. Seja B in Mn(F) e FB: V V a transformação linear dada por FB(A)=A B-B A. Mostre que det(FB)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o determinante do operador linear que atua no espaço das matrizes quadradas . Isso está dentro do tópico de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo transformações lineares e determinantes. Para resolver, vamos entender como funciona e por que seu determinante é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que faz. A transformação linear é definida por , onde e são matrizes . Essa operação é conhecida como o comutador de e .

Passo 3

Sabemos que o espaço das matrizes tem dimensão , ou seja, podemos pensar em como uma matriz . Porém, queremos mostrar que o determinante de é zero, o que implica que não é invertível.

Passo 4

Para mostrar que , basta encontrarmos um vetor não nulo no espaço das matrizes que seja enviado para o vetor zero por . Em outras palavras, queremos achar uma matriz diferente de zero tal que .

Passo 5

Vamos considerar a própria matriz FB(B) = B B - B B = 0 . Vamos calcular :
Então, é um vetor não nulo (supondo que não seja a matriz zero) que satisfaz .

Passo 6

A existência de um vetor não nulo que é mapeado para zero por significa que tem um núcleo não trivial. Isso implica que não é injetora, e, consequentemente, não é invertível.

Passo 7

Se uma transformação linear não é invertível, seu determinante é zero. Portanto, temos que:
det(FB) = 0

Resposta

O determinante de é zero, ou seja, .

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