a) Determinar M in M3(R), inversível, tal que M^-1 A M seja diagonal onde
A=(ccc 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5 )
Determinar M^-1 A M.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para encontrar uma matriz inversível de ordem 3 que, ao fazer a transformação , resulte em uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 4 3 & -4 - lambda & 12 1 & -2 & 5 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (2 - lambda) [ (-4 - lambda)(5 - lambda) - (12)(-2) ] - 0 + 4 [ 3(-2) - (-4 - lambda)(1) ]
Simplificando:
= (2 - lambda) [ ( -4 - lambda)(5 - lambda) + 24 ] + 4 [ -6 + 4 + lambda ]

Passo 5

Continuando a simplificar:
= (2 - lambda) [ (-4)(5 - lambda) - lambda(5 - lambda) + 24 ] + 4 (lambda - 2)
= (2 - lambda) [ -20 + 4lambda - 5lambda + lambda^2 + 24 ] + 4lambda - 8
= (2 - lambda) (lambda^2 - lambda + 4) + 4lambda - 8
Multiplicando:
= 2lambda^2 - 2lambda + 8 - lambda^3 + lambda^2 - 4lambda + 4lambda - 8
= -lambda^3 + 3lambda^2 - 2lambda
Fatorando:
-lambda (lambda^2 - 3lambda + 2) = 0
-lambda (lambda -1)(lambda -2) = 0
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 2v1 + 0v2 + 4v3 = 0 3v1 -4v2 +12v3 = 0 v1 -2v2 +5v3 = 0 .
Para :
Resolvemos , ou seja, .
Montando o sistema:
Resolvendo, encontramos um autovetor .

Passo 7

Para 1 & 0 & 4 3 & -5 & 12 1 & -2 & 4 :
Resolvemos .
Montando a matriz :
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor .

Passo 8

Para 0 & 0 & 4 3 & -6 & 12 1 & -2 & 3 :
Resolvemos .
Montando a matriz :
Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor .

Passo 9

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir a matriz cujas colunas são os autovetores de . Como os autovetores são linearmente independentes, será inversível.

Passo 10

Finalmente, ao calcular M^-1 A M = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 , obteremos uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal são os autovalores de . Ou seja:

Resposta

A matriz diagonal M^-1 A M = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 é:

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