a) Determinar , inversível, tal que seja diagonal onde
Determinar .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para encontrar uma matriz inversível de ordem 3 que, ao fazer a transformação , resulte em uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Continuando a simplificar:
Multiplicando:
Fatorando:
Portanto, os autovalores são , e .
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos , ou seja, .
Montando o sistema:
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Passo 7
Para :
Resolvemos .
Montando a matriz :
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor .
Passo 8
Para :
Resolvemos .
Montando a matriz :
Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor .
Passo 9
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir a matriz cujas colunas são os autovetores de . Como os autovetores são linearmente independentes, será inversível.
Passo 10
Finalmente, ao calcular , obteremos uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal são os autovalores de . Ou seja: