a) Determinar , inversível, tal que seja diagonal onde
Determinar M^-1 A M.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para encontrar uma matriz inversível de ordem 3 que, ao fazer a transformação , resulte em uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir a matriz cujas colunas são os autovetores de . Como os autovetores são linearmente independentes, será inversível.
Passo 10
Finalmente, ao calcular M^-1 A M = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 , obteremos uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal são os autovalores de . Ou seja:
Resposta
A matriz diagonal M^-1 A M = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 é: