a) Determinar , inversível, tal que seja diagonal onde
Determinar .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para encontrar uma matriz inversível de ordem 3 que, ao fazer a transformação , resulte em uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Continuando a simplificar:
Multiplicando:
Fatorando:
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos , ou seja, .
Montando o sistema:
Resolvendo, encontramos um autovetor .

Passo 7

Para :
Resolvemos .
Montando a matriz :
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor .

Passo 8

Para :
Resolvemos .
Montando a matriz :
Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor .

Passo 9

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir a matriz cujas colunas são os autovetores de . Como os autovetores são linearmente independentes, será inversível.

Passo 10

Finalmente, ao calcular , obteremos uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal são os autovalores de . Ou seja:

Resposta

A matriz diagonal é:

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a) Mostre que se é um operador auto-adjunto, então seus auto-valores são reais. (Use que se é um auto-vetor, então e .
Achar os auto-valores e os auto-vetores do operador dado por:
b) .
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c) .