Calcule o determinante das matrizes
a) (cccc 2 & 1 & 3 & 0 1 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 1 3 & 1 & 1 & 4 ) b) A=(cccc 1 & 0 & 0 & 0 3 & 2 & 0 & 0 1 & 1 & 4 & 0 4 & 0 & 1 & -1 ) c) A=(ccc 3 & -6 & x 1 & -2 & y 2 & -4 & z )
Note que usando o que foi visto em sala de aula, o determinante das matrizes de b ) e c ) podem ser calculados com muito poucas contas, ou mesmo sem cálculo algum no caso c).

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante de três matrizes diferentes. Determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes, seja expandindo por linhas/colunas ou usando propriedades que simplificam o processo.

Passo 2

a) Matriz 4x4
Primeiro, vamos para a parte a), que tem uma matriz 4x4:
2 & 1 & 3 & 0 1 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 1 3 & 1 & 1 & 4
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos usar a expansão por cofatores para simplificar. Vamos escolher uma linha ou coluna com zeros, porque isso facilita as contas. Olhando para a primeira coluna, vemos que o terceiro elemento é zero, então vamos expandir por essa coluna.
Passo a Passo:
  1. Escolha uma coluna com zeros (primeira coluna).
  2. Calcule os cofatores para cada elemento não zero.
  3. Some os produtos dos elementos pelos seus cofatores.
Aplicando isso:
det(A) = 2 cdot det 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 1 & 1 & 4 - 1 cdot det 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 3 & 1 & 4 + 3 cdot det 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 3 & 1 & 4
Agora, vamos calcular cada determinante 3x3:
  1. Primeiro determinante 3x3:
2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 1 & 1 & 4 = 2(2 cdot 4 - 1 cdot 1) - 1(0 cdot 4 - 1 cdot 1) + 0 = 2(8 - 1) - 1(0 - 1) = 14 + 1 = 15
  1. Segundo determinante 3x3:
1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 3 & 1 & 4 = 1(2 cdot 4 - 1 cdot 1) - 1(0 cdot 4 - 1 cdot 3) + 0 = 1(8 - 1) - 1(0 - 3) = 7 + 3 = 10
  1. Terceiro determinante 3x3:
1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 3 & 1 & 4 = 1(0 cdot 4 - 1 cdot 1) - 2(0 cdot 4 - 1 cdot 3) + 0 = 1(0 - 1) - 2(0 - 3) = -1 + 6 = 5
Agora, substituindo de volta:
det(A) = 2 cdot 15 - 1 cdot 10 + 3 cdot 5 = 30 - 10 + 15 = 35
b) Matriz 4x4 Simplificada
Agora, para a parte b), a matriz é:
A= 1 & 0 & 0 & 0 3 & 2 & 0 & 0 1 & 1 & 4 & 0 4 & 0 & 1 & -1
Essa matriz tem muitos zeros, o que facilita bastante o cálculo do determinante. Na verdade, essa matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), e para matrizes triangulares, o determinante é apenas o produto dos elementos da diagonal.
Passo a Passo:
  1. Identifique que a matriz é triangular inferior.
  2. Calcule o produto dos elementos da diagonal principal.
Diagonal principal: 1, 2, 4, -1.
Então,
det(A) = 1 cdot 2 cdot 4 cdot (-1) = -8
c) Matriz 3x3 com Variáveis
Por fim, na parte c), temos uma matriz com variáveis:
A= 3 & -6 & x 1 & -2 & y 2 & -4 & z
Observando essa matriz, notamos que a segunda linha é metade da primeira linha. Isso significa que as linhas são lineares dependentes, o que faz o determinante ser zero, sem precisar fazer nenhum cálculo.
Passo a Passo:
  1. Observe relações entre as linhas ou colunas.
  2. Se houver dependência linear (uma linha é múltiplo da outra), o determinante é zero.
Aqui, a segunda linha é 1/3 da primeira, então:
det(A) = 0

Resposta

a) O determinante é 35.
b) O determinante é -8.
c) O determinante é 0.

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