Note que usando o que foi visto em sala de aula, o determinante das matrizes de ) e ) podem ser calculados com muito poucas contas, ou mesmo sem cálculo algum no caso c).
Passo 1
Beleza, vamos calcular o determinante de três matrizes diferentes. Determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes, seja expandindo por linhas/colunas ou usando propriedades que simplificam o processo.
Passo 2
a) Matriz 4x4
Primeiro, vamos para a parte a), que tem uma matriz 4x4:
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos usar a expansão por cofatores para simplificar. Vamos escolher uma linha ou coluna com zeros, porque isso facilita as contas. Olhando para a primeira coluna, vemos que o terceiro elemento é zero, então vamos expandir por essa coluna.
Passo a Passo:
Escolha uma coluna com zeros (primeira coluna).
Calcule os cofatores para cada elemento não zero.
Some os produtos dos elementos pelos seus cofatores.
Aplicando isso:
Agora, vamos calcular cada determinante 3x3:
Primeiro determinante 3x3:
Segundo determinante 3x3:
Terceiro determinante 3x3:
Agora, substituindo de volta:
b) Matriz 4x4 Simplificada
Agora, para a parte b), a matriz é:
Essa matriz tem muitos zeros, o que facilita bastante o cálculo do determinante. Na verdade, essa matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), e para matrizes triangulares, o determinante é apenas o produto dos elementos da diagonal.
Passo a Passo:
Identifique que a matriz é triangular inferior.
Calcule o produto dos elementos da diagonal principal.
Diagonal principal: 1, 2, 4, -1.
Então,
c) Matriz 3x3 com Variáveis
Por fim, na parte c), temos uma matriz com variáveis:
Observando essa matriz, notamos que a segunda linha é metade da primeira linha. Isso significa que as linhas são lineares dependentes, o que faz o determinante ser zero, sem precisar fazer nenhum cálculo.
Passo a Passo:
Observe relações entre as linhas ou colunas.
Se houver dependência linear (uma linha é múltiplo da outra), o determinante é zero.