Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da tem forma diagonal e achar esta matriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se uma transformação linear , dada por , é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base onde a matriz de é diagonal e também determinar qual é essa matriz diagonal.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de diagonalização de matrizes, autovalores e autovetores. Basicamente, diagonalizar uma matriz significa encontrar uma base formada por vetores que são “especialmente simples” para a transformação, facilitando muito o nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz associada à transformação . Para isso, aplicamos nos vetores da base canônica , e :
Então, a matriz de na base canônica é:
Passo 3
Agora, para saber se det(A - lambda I) = det 2 - lambda & 0 & 0 1 & 1 - lambda & 0 1 & 0 & -1 - lambda é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores e autovetores dela. Autovalores são valores det(A - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda)(-1 - lambda) que satisfazem a equação (2 - lambda)(1 - lambda)(-1 - lambda) = 0 , onde lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = -1 é a matriz identidade.
Vamos calcular o polinômio característico:
Como a matriz é triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Então, os autovalores são as soluções de:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada A - 2I = 0 & 0 & 0 1 & -1 & 0 1 & 0 & -3 .
Para cada 0x + 0y + 0z = 0 x - y = 0 x - 3z = 0 , resolvemos v = 3z 3z z = z 3 3 1 , onde A - I = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 0 & -2 é o autovetor.
Para x = 0 x = 0 x - 2z = 0 :
v = 0 y 0 = y 0 1 0
Resolvendo o sistema:
A + I = 3 & 0 & 0 1 & 2 & 0 1 & 0 & 0
Da segunda equação, 3x = 0 x + 2y = 0 x = 0 . Da terceira, v = 0 0 z = z 0 0 1 . Então, podemos expressar os vetores como:
Então, um autovetor para é .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Da terceira, . O é livre, então:
Então, um autovetor para é .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira e terceira equações, . Da segunda, . O é livre, então:
Então, um autovetor para é .
Passo 5
Agora que temos os três autovalores distintos e seus respectivos autovetores, podemos concluir que a matriz B = 3 3 1 , 0 1 0 , 0 0 1 é diagonalizável. Isso porque, em um espaço de dimensão 3, se uma matriz tem 3 autovalores distintos, ela sempre é diagonalizável, já que os autovetores correspondentes são linearmente independentes e formam uma base.
Então, a base na qual D = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 é diagonal é formada pelos autovetores :
E a matriz diagonal correspondente será composta pelos autovalores na diagonal principal:
Resposta
Sim, a transformação 3 3 1 é diagonalizável. Uma base onde a matriz de 0 1 0 é diagonal é formada pelos vetores 0 0 1, D = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 e . A matriz diagonal correspondente é: