Achar o centro e o raio do círculo interseção da esfera com o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio do círculo que resulta da interseção da esfera com o plano . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial, como a equação da esfera e a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para identificar seu centro e raio. A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para as variáveis e .
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, a esfera tem centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a distância entre o centro da esfera e o plano . A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Aqui, os coeficientes do plano são , , e . Substituindo:

Passo 4

Com a distância entre o centro da esfera e o plano, podemos encontrar o raio do círculo de interseção usando a relação:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar as coordenadas do centro do círculo que é a interseção. Esse centro é a projeção do centro da esfera sobre o plano .
A fórmula para a projeção de um ponto sobre um plano é:
Aplicando ao nosso caso:
Calculando:

Resposta

O centro do círculo de interseção é e o raio é .

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(a) .
Determinar as coordenadas do centro e raio da esfera .