Achar o centro e o raio do círculo interseção da esfera S: x^2+y^2+z^2-6 x-2 y=0 com o plano pi: x+2 z+1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio do círculo que resulta da interseção da esfera com o plano . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial, como a equação da esfera e a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para identificar seu centro e raio. A equação dada é:
x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 2y = 0
Vamos completar o quadrado para as variáveis x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 e y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 .
Para (x - 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 + z^2 = 0 :
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 10
Para :
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, a esfera tem centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a distância entre o centro da esfera d = |ax0 + by0 + cz0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 e o plano d = |1 cdot 3 + 0 cdot 1 + 2 cdot 0 + 1|raiz1^2 + 0^2 + 2^2 = |3 + 0 + 0 + 1|raiz5 = 4raiz5 . A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Aqui, os coeficientes do plano são , , e . Substituindo:

Passo 4

Com a distância r = raizR^2 - d^2 entre o centro da esfera e o plano, podemos encontrar o raio r = raiz10 - (4raiz5)^2 = raiz10 - 165 = raiz345 = raiz34raiz5 do círculo de interseção usando a relação:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar as coordenadas do centro do círculo que é a interseção. Esse centro é a projeção do centro da esfera sobre o plano P = C - ax + by + cz + da^2 + b^2 + c^2 cdot (a, b, c) .
A fórmula para a projeção P = (3, 1, 0) - 1 cdot 3 + 0 cdot 1 + 2 cdot 0 + 11^2 + 0^2 + 2^2 cdot (1, 0, 2) = (3, 1, 0) - 45 cdot (1, 0, 2) de um ponto P = (3 - 45, 1 - 0, 0 - 85) = (115, 1, -85) sobre um plano é:
Aplicando ao nosso caso:
Calculando:

Resposta

O centro do círculo de interseção é e o raio é .

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