Achar o centro e o raio do círculo interseção da esfera
com o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio do círculo que resulta da interseção da esfera
com o plano
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial, como a equação da esfera e a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para identificar seu centro e raio. A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para as variáveis
e
.
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, a esfera tem centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a distância entre o centro da esfera
e o plano
. A fórmula para a distância
de um ponto
a um plano
é:
Aqui, os coeficientes do plano são
,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Com a distância
entre o centro da esfera e o plano, podemos encontrar o raio
do círculo de interseção usando a relação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos determinar as coordenadas do centro do círculo que é a interseção. Esse centro é a projeção do centro da esfera sobre o plano
.
A fórmula para a projeção
de um ponto
sobre um plano
é:
Aplicando ao nosso caso:
Calculando:
Resposta
O centro do círculo de interseção é
e o raio é
.
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o espaço vetorial
das matrizes
sobre
. Encontre o vetor coordenada da matriz
em relação à base
onde
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(a) .
(a)
Determinar as coordenadas do centro e raio da esfera
.