Para as quádricas com centro de simetria deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos, quando for um elipsóide. Para as quádricas sem centro de simetria encontrar seu eixo de simetria. Em seguida, identificar e esboçar seus gráfico utilizando os seus traços nos planos coordenados e nos planos paralelos aos coordenados:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma equação de uma quádricas que precisa ser analisada para identificar se é um elipsóide, achar o centro, os semi-eixos e, se não tiver centro de simetria, encontrar o eixo de simetria. Além disso, vamos esboçar o gráfico usando os traços nos planos coordenados. A equação que vamos trabalhar é:
Para resolver isso, vamos precisar saber como completar o quadrado e entender um pouco sobre as formas das quádricas, especificamente o elipsóide.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação juntando os termos semelhantes:
Agora, para identificar o centro e os semi-eixos, precisamos completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 3

Vamos completar o quadrado para o termo em :
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para o termo em :
Primeiro, fatoramos o 16:
Completando o quadrado dentro do parênteses:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
Agora, somamos os termos constantes:
Adicionando 20 em ambos os lados:

Passo 6

Vamos dividir todos os termos por 25 para colocar a equação na forma padrão de um elipsóide:
Simplificando os denominadores:
Ou seja:

Passo 7

Agora, podemos identificar as características do elipsóide:
  • Centro:
  • Semi-eixos:
    • Em :
    • Em :
    • Em :

Passo 8

Como a equação está na forma padrão de um elipsóide e encontramos um centro de simetria, não precisamos procurar um eixo de simetria separado. Agora, para esboçar o gráfico, vamos identificar os traços nos planos coordenados:
  • Plano : Fixando , a equação se torna:
Isso é uma elipse com centro em , semi-eixos de 5 e .
  • Plano : Fixando , a equação se torna:
Isso é um círculo com centro em e raio 5.
  • Plano : Fixando , a equação se torna:
Isso é uma elipse com centro em , semi-eixos de e 5.

Resposta

O elipsóide tem centro em e seus semi-eixos têm comprimentos (em ), (em ) e (em ). Os traços nos planos coordenados são:
  • No plano : uma elipse centrada em com semi-eixos 5 e .
  • No plano : um círculo centrado em com raio 5.
  • No plano : uma elipse centrada em com semi-eixos e 5.

Exercícios relacionados

Achar o centro e o raio do círculo interseção da esfera com o plano .
Seja o espaço vetorial das matrizes sobre . Encontre o vetor coordenada da matriz em relação à base
onde
Determinar as coordenadas do centro e raio da esfera .
Determine as extremidades do diâmetro da superfície esférica que é perpendicular ao plano .