Para as quádricas com centro de simetria deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos, quando for um elipsóide. Para as quádricas sem centro de simetria encontrar seu eixo de simetria. Em seguida, identificar e esboçar seus gráfico utilizando os seus traços nos planos coordenados e nos planos paralelos aos coordenados:
(a) x^2+16 y^2+z^2-4 x+32 y=5.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma equação de uma quádricas que precisa ser analisada para identificar se é um elipsóide, achar o centro, os semi-eixos e, se não tiver centro de simetria, encontrar o eixo de simetria. Além disso, vamos esboçar o gráfico usando os traços nos planos coordenados. A equação que vamos trabalhar é:
x^2 + 16 y^2 + z^2 -4 x +32 y =5
Para resolver isso, vamos precisar saber como completar o quadrado e entender um pouco sobre as formas das quádricas, especificamente o elipsóide.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação juntando os termos semelhantes:
x^2 -4x + 16y^2 +32y + z^2 =5
Agora, para identificar o centro e os semi-eixos, precisamos completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 3

Vamos completar o quadrado para o termo em x^2 -4x :
(-42)^2 = (-2)^2 = 4
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de x^2 -4x +4 -4 = (x-2)^2 -4 , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para o termo em 16y^2 +32y :
16(y^2 + 2y)
Primeiro, fatoramos o 16:
(22)^2 = 1
Completando o quadrado dentro do parênteses:
16(y^2 +2y +1 -1) = 16[(y+1)^2 -1] =16(y+1)^2 -16
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
(x-2)^2 -4 +16(y+1)^2 -16 + z^2 =5
Agora, somamos os termos constantes:
(x-2)^2 +16(y+1)^2 + z^2 -20 =5
Adicionando 20 em ambos os lados:
(x-2)^2 +16(y+1)^2 + z^2 =25

Passo 6

Vamos dividir todos os termos por 25 para colocar a equação na forma padrão de um elipsóide:
(x-2)^225 + 16(y+1)^225 + z^225 =1
Simplificando os denominadores:
(x-2)^225 + (y+1)^22516 + z^225 =1
Ou seja:
(x-2)^25^2 + (y+1)^2(54)^2 + z^25^2 =1

Passo 7

Agora, podemos identificar as características do elipsóide:
  • Centro:
  • Semi-eixos:
    • Em :
    • Em :
    • Em :

Passo 8

Como a equação está na forma padrão de um elipsóide e encontramos um centro de simetria, não precisamos procurar um eixo de simetria separado. Agora, para esboçar o gráfico, vamos identificar os traços nos planos coordenados:
  • Plano (x-2)^225 + (y+1)^22516 =1 : Fixando (x-2)^225 + z^225 =1 , a equação se torna:
(y+1)^22516 + z^225 =1
Isso é uma elipse com centro em , semi-eixos de 5 e .
  • Plano : Fixando , a equação se torna:
Isso é um círculo com centro em e raio 5.
  • Plano : Fixando , a equação se torna:
Isso é uma elipse com centro em , semi-eixos de e 5.

Resposta

O elipsóide tem centro em e seus semi-eixos têm comprimentos (em ), (em ) e (em ). Os traços nos planos coordenados são:
  • No plano : uma elipse centrada em com semi-eixos 5 e .
  • No plano : um círculo centrado em com raio 5.
  • No plano : uma elipse centrada em com semi-eixos e 5.

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