Para as quádricas com centro de simetria deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos, quando for um elipsóide. Para as quádricas sem centro de simetria encontrar seu eixo de simetria. Em seguida, identificar e esboçar seus gráfico utilizando os seus traços nos planos coordenados e nos planos paralelos aos coordenados:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma equação de uma quádricas que precisa ser analisada para identificar se é um elipsóide, achar o centro, os semi-eixos e, se não tiver centro de simetria, encontrar o eixo de simetria. Além disso, vamos esboçar o gráfico usando os traços nos planos coordenados. A equação que vamos trabalhar é:
Para resolver isso, vamos precisar saber como completar o quadrado e entender um pouco sobre as formas das quádricas, especificamente o elipsóide.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação juntando os termos semelhantes:
Agora, para identificar o centro e os semi-eixos, precisamos completar o quadrado para as variáveis
e
.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para o termo em
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para o termo em
:
Primeiro, fatoramos o 16:
Completando o quadrado dentro do parênteses:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Agora, somamos os termos constantes:
Adicionando 20 em ambos os lados:
Passo 6
Vamos dividir todos os termos por 25 para colocar a equação na forma padrão de um elipsóide:
Simplificando os denominadores:
Ou seja:
Passo 7
Agora, podemos identificar as características do elipsóide:
- Centro:
- Semi-eixos:
- Em
: - Em
: - Em
:
- Em
Passo 8
Como a equação está na forma padrão de um elipsóide e encontramos um centro de simetria, não precisamos procurar um eixo de simetria separado. Agora, para esboçar o gráfico, vamos identificar os traços nos planos coordenados:
- Plano
: Fixando , a equação se torna:
Isso é uma elipse com centro em
, semi-eixos de 5 e
.
- Plano
: Fixando , a equação se torna:
Isso é um círculo com centro em
e raio 5.
- Plano
: Fixando , a equação se torna:
Isso é uma elipse com centro em
, semi-eixos de
e 5.
Resposta
O elipsóide tem centro em
e seus semi-eixos têm comprimentos
(em
),
(em
) e
(em
). Os traços nos planos coordenados são:
- No plano
: uma elipse centrada em com semi-eixos 5 e . - No plano
: um círculo centrado em com raio 5. - No plano
: uma elipse centrada em com semi-eixos e 5.
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Achar o centro e o raio do círculo interseção da esfera
com o plano
.
Seja
o espaço vetorial
das matrizes
sobre
. Encontre o vetor coordenada da matriz
em relação à base
onde
Determinar as coordenadas do centro e raio da esfera
.
Determine as extremidades do diâmetro da superfície esférica
que é perpendicular ao plano
.