Achar a equação da esfera que contém os dois círculos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma esfera que contém dois círculos dados. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e círculos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como representar a esfera e como garantir que os dois círculos estejam na superfície dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma esfera no espaço:
Aqui,
são as coordenadas do centro da esfera e
é o raio.
Passo 3
Agora, vamos analisar os dois círculos que a esfera deve conter:
-
Círculo 1:Isso significa que o círculo está no plano
e tem raio . -
Círculo 2:Esse círculo está no plano
e tem raio .
Passo 4
Para que ambos os círculos estejam na esfera, os centros e os raios dos círculos devem satisfazer a equação da esfera. Vamos supor que o centro da esfera seja
e seu raio seja
.
Passo 5
Vamos começar a substituir as informações dos círculos na equação da esfera.
Para o Círculo 1, que está no plano
:
Sabemos que
, então:
Para o Círculo 2, que está no plano
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora temos duas equações:
Como ambos são iguais a
, podemos igualá-las:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Isolando
:
Passo 8
Agora que temos
, vamos substituir de volta em uma das equações para encontrar
.
Usando a primeira equação:
Passo 9
Agora, sabemos que o centro da esfera é
e o raio é
. Mas precisamos determinar
e
. Observando os círculos, vemos que ambos têm
iguais a constantes, o que sugere que o centro da esfera está na origem do eixo
e
, ou seja,
e
.
Resposta
A equação da esfera que contém os dois círculos é:
Exercícios relacionados
Mostre que o conjunto
de vetores de
é L.I. .
Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro
e tangente ao plano
.
Seja
o espaço vetorial
das matrizes
sobre
. Encontre o vetor coordenada da matriz
em relação à base
onde
Achar o centro e o raio do círculo interseção da esfera
com o plano
.