Achar a equação da esfera que contém os dois círculos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma esfera que contém dois círculos dados. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e círculos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como representar a esfera e como garantir que os dois círculos estejam na superfície dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma esfera no espaço:
Aqui, são as coordenadas do centro da esfera e é o raio.

Passo 3

Agora, vamos analisar os dois círculos que a esfera deve conter:
  1. Círculo 1:
    Isso significa que o círculo está no plano e tem raio .
  2. Círculo 2:
    Esse círculo está no plano e tem raio .

Passo 4

Para que ambos os círculos estejam na esfera, os centros e os raios dos círculos devem satisfazer a equação da esfera. Vamos supor que o centro da esfera seja e seu raio seja .

Passo 5

Vamos começar a substituir as informações dos círculos na equação da esfera.
Para o Círculo 1, que está no plano :
Sabemos que , então:
Para o Círculo 2, que está no plano :
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora temos duas equações:
Como ambos são iguais a , podemos igualá-las:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
Expandindo os termos:
Simplificando:
Isolando :

Passo 8

Agora que temos , vamos substituir de volta em uma das equações para encontrar .
Usando a primeira equação:

Passo 9

Agora, sabemos que o centro da esfera é e o raio é . Mas precisamos determinar e . Observando os círculos, vemos que ambos têm iguais a constantes, o que sugere que o centro da esfera está na origem do eixo e , ou seja, e .

Resposta

A equação da esfera que contém os dois círculos é:

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onde
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