Achar a equação da esfera que contém os dois círculos
lambda1:c x^2+z^2=25 y=2 e lambda2:c x^2+z^2=16 y=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma esfera que contém dois círculos dados. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e círculos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como representar a esfera e como garantir que os dois círculos estejam na superfície dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma esfera no espaço:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
Aqui, (a, b, c) são as coordenadas do centro da esfera e R é o raio.

Passo 3

Agora, vamos analisar os dois círculos que a esfera deve conter:
  1. Círculo 1:
    lambda1:c x^2 + z^2 = 25 y = 2
    Isso significa que o círculo está no plano y = 2 e tem raio raiz25 = 5.
  2. Círculo 2:
    lambda2:c x^2 + z^2 = 16 y = 3
    Esse círculo está no plano y = 3 e tem raio raiz16 = 4.

Passo 4

Para que ambos os círculos estejam na esfera, os centros e os raios dos círculos devem satisfazer a equação da esfera. Vamos supor que o centro da esfera seja (a, b, c) e seu raio seja R.

Passo 5

Vamos começar a substituir as informações dos círculos na equação da esfera.
Para o Círculo 1, que está no plano y = 2:
(x)^2 + (y - 2)^2 + (z)^2 = (R)^2
Sabemos que x^2 + z^2 = 25, então:
25 + (b - 2)^2 = R^2
Para o Círculo 2, que está no plano y = 3:
(x)^2 + (y - 3)^2 + (z)^2 = (R)^2
Sabemos que x^2 + z^2 = 16, então:
16 + (b - 3)^2 = R^2

Passo 6

Agora temos duas equações:
  1. 25 + (b - 2)^2 = R^2
  2. 16 + (b - 3)^2 = R^2
Como ambos são iguais a R^2, podemos igualá-las:
25 + (b - 2)^2 = 16 + (b - 3)^2

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de b:
Expandindo os termos:
25 + b^2 - 4b + 4 = 16 + b^2 - 6b + 9
Simplificando:
29 - 4b = 25 - 6b
Isolando b:
29 - 25 = -6b + 4b 4 = -2b b = -2

Passo 8

Agora que temos b = -2, vamos substituir de volta em uma das equações para encontrar R^2.
Usando a primeira equação:
25 + (-2 - 2)^2 = R^2 25 + (-4)^2 = R^2 25 + 16 = R^2 R^2 = 41 R = raiz41

Passo 9

Agora, sabemos que o centro da esfera é (a, -2, c) e o raio é raiz41. Mas precisamos determinar a e c. Observando os círculos, vemos que ambos têm x^2 + z^2 iguais a constantes, o que sugere que o centro da esfera está na origem do eixo x e z, ou seja, a = 0 e c = 0.

Resposta

A equação da esfera que contém os dois círculos é:
x^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 41

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