Seja V o espaço vetorial M2(R) das matrizes 2 times 2 sobre R. Encontre o vetor coordenada da matriz A in V em relação à base
[ll 1 & 1 1 & 1 ],[cc 0 & -1 1 & 0 ],[cc 1 & -1 0 & 0 ],[ll 1 & 0 0 & 0 ]
onde
A=[ll 1 & 1 1 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar as coordenadas da matriz em relação a uma base específica de matrizes . Isso faz parte do conteúdo de Espaços Vetoriais e Mudança de Base. Para resolver, vamos precisar entender como expressar uma matriz como combinação linear das matrizes que formam a base fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes da base e a matriz B1 = 1 & 1 1 & 1 , B2 = 0 & -1 1 & 0 , B3 = 1 & -1 0 & 0 , B4 = 1 & 0 0 & 0 que queremos coordenar:
Base:
A = 1 & 1 1 & 1
Matriz :

Passo 3

Agora, queremos encontrar os coeficientes A = c1 B1 + c2 B2 + c3 B3 + c4 B4 tais que:
1 & 1 1 & 1 = c1 1 & 1 1 & 1 + c2 0 & -1 1 & 0 + c3 1 & -1 0 & 0 + c4 1 & 0 0 & 0
Isso significa que:

Passo 4

Vamos expandir a combinação linear:
1 & 1 1 & 1 = c1 + c3 + c4 & c1 - c2 - c3 c1 + c2 & c1
Agora, igualamos cada posição das matrizes:
  1. Posição (1,1):
1 = c1 + c3 + c4
  1. Posição (1,2):
1 = c1 - c2 - c3
  1. Posição (2,1):
1 = c1 + c2
  1. Posição (2,2):
1 = c1

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo.
Da posição (2,2):
1 = c1 Rightarrow c1 = 1
Da posição (2,1):
1 = 1 + c2 Rightarrow c2 = 0
Da posição (1,2):
1 = 1 - 0 - c3 Rightarrow c3 = 0
Da posição (1,1):
1 = 1 + 0 + c4 Rightarrow c4 = 0

Resposta

A coordenada da matriz 1 & 0 & 0 & 0 em relação à base dada é .

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