Determinar as coordenadas do centro e raio da esfera S: x^2+y^2+z^2-2 x+4 y-6 z+8=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do centro e o raio de uma esfera dada pela equação S: x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 8 = 0. Vamos precisar usar a fórmula padrão da equação da esfera e completar o quadrado para identificar essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação de uma esfera:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
Aqui, (h, k, l) são as coordenadas do centro da esfera e r é o raio. Nosso objetivo é transformar a equação dada para que ela fique nessa forma.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação dada agrupando os termos de x, y e z:
x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 6z = -8

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis. Começando com o x:
  • Pegamos o coeficiente de x, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (-22)^2 = 1.
  • Fazemos o mesmo para o y: coeficiente 4, então (42)^2 = 4.
  • E para o z: coeficiente -6, então (-62)^2 = 9.

Passo 5

Adicionar esses valores em ambos os lados da equação para manter a igualdade:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9) = -8 + 1 + 4 + 9

Passo 6

Simplificando os termos, temos:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 6

Passo 7

Agora, comparando com a forma padrão da equação da esfera, identificamos:
  • Centro (h, k, l) = (1, -2, 3)
  • Raio r = raiz6

Resposta

O centro da esfera é o ponto (1, -2, 3) e o raio da esfera é raiz6 unidades.

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