Determinar as coordenadas do centro e raio da esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do centro e o raio de uma esfera dada pela equação
. Vamos precisar usar a fórmula padrão da equação da esfera e completar o quadrado para identificar essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação de uma esfera:
Aqui,
são as coordenadas do centro da esfera e
é o raio. Nosso objetivo é transformar a equação dada para que ela fique nessa forma.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação dada agrupando os termos de
,
e
:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis. Começando com o
:
- Pegamos o coeficiente de
, que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . - Fazemos o mesmo para o
: coeficiente , então . - E para o
: coeficiente , então .
Passo 5
Adicionar esses valores em ambos os lados da equação para manter a igualdade:
Passo 6
Simplificando os termos, temos:
Passo 7
Agora, comparando com a forma padrão da equação da esfera, identificamos:
- Centro
- Raio
Resposta
O centro da esfera é o ponto
e o raio da esfera é
unidades.