Determinar as coordenadas do centro e raio da esfera .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do centro e o raio de uma esfera dada pela equação . Vamos precisar usar a fórmula padrão da equação da esfera e completar o quadrado para identificar essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação de uma esfera:
Aqui, são as coordenadas do centro da esfera e é o raio. Nosso objetivo é transformar a equação dada para que ela fique nessa forma.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação dada agrupando os termos de , e :

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis. Começando com o :
  • Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
  • Fazemos o mesmo para o : coeficiente , então .
  • E para o : coeficiente , então .

Passo 5

Adicionar esses valores em ambos os lados da equação para manter a igualdade:

Passo 6

Simplificando os termos, temos:

Passo 7

Agora, comparando com a forma padrão da equação da esfera, identificamos:
  • Centro
  • Raio

Resposta

O centro da esfera é o ponto e o raio da esfera é unidades.

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Para as quádricas com centro de simetria deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos, quando for um elipsóide. Para as quádricas sem centro de simetria encontrar seu eixo de simetria. Em seguida, identificar e esboçar seus gráfico utilizando os seus traços nos planos coordenados e nos planos paralelos aos coordenados:
(a) .
Achar o centro e o raio do círculo interseção da esfera com o plano .
Determine as extremidades do diâmetro da superfície esférica que é perpendicular ao plano .
Seja um intervalo de e indiquemos por o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados e , definem-se e .f do seguinte modo:
, para todo
e , para todo
O conjunto é um espaço vetorial com relação a esse par de operações. Mostre que U e são subespaços de e sendo um intervalo com centro em 0 , mostre que , onde: