Achar um conjunto de geradores para os seguintes subespaços.
(b) com a, b, c, d in R e b=c
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar um conjunto de geradores para um subespaço específico de matrizes 2x2. Isso envolve entender um pouco sobre subespaços vetoriais e como geradores funcionam. Vamos precisar identificar matrizes que, combinadas de certa forma, conseguem gerar todo o subespaço V dado pelas condições do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o subespaço V que estamos analisando. O enunciado define V como o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais onde o elemento da posição (1,2) é igual ao da posição (2,1). Em termos matemáticos, isso fica assim:
V = a & b c & d in M2(R) g| b = c
Então, cada matriz em V tem a forma:
a & b b & d
onde são números reais.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como essas matrizes podem ser “geradas” a partir de matrizes mais simples. Como os elementos a & b b & d = a 1 & 0 0 & 0 + b 0 & 1 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1 são independentes, podemos expressar qualquer matriz em V como combinação linear desses elementos. Ou seja:
Aqui, cada matriz multiplicada por um coeficiente () representa uma “direção” no espaço V.
Passo 4
Dessa forma, identificamos que as matrizes seguintes são suficientes para gerar todo o subespaço V:
1 & 0 0 & 0 – controla o elemento 0 & 1 1 & 0 .
0 & 0 0 & 1 – controla os elementos e (já que ).
– controla o elemento .
Essas três matrizes são chamadas de geradores porque, combinando elas de diferentes maneiras, conseguimos obter qualquer matriz dentro de V.
Resposta
Um conjunto de geradores para 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 é dado pelas matrizes: