Quais dos conjuntos que se seguem geram o ? Justrifique sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quais dos conjuntos apresentados conseguem gerar o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto que estamos analisando é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto gerar um espaço e como verificar se, combinando os elementos desse conjunto, conseguimos formar qualquer polinômio de grau até 3.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço . Ele consiste em todos os polinômios da forma , onde são números reais. Nosso objetivo é ver se, usando combinações lineares dos elementos do conjunto , conseguimos formar qualquer polinômio desse tipo.
Passo 3
Vamos entender o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos elementos do conjunto é qualquer expressão que seja uma soma de cada elemento multiplicado por um escalar (número real). Então, para nosso conjunto, uma combinação linear geral seria:
onde são números reais que podemos escolher.
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Reagrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá um polinômio da forma:
onde:
Passo 5
Observamos que, nessa combinação linear, não temos nenhum termo com . Ou seja, não conseguimos gerar polinômios de grau 3 usando os elementos desse conjunto, já que o maior grau que conseguimos é 2.
Passo 6
Além disso, para gerar , precisaríamos que nosso conjunto tivesse a capacidade de formar qualquer polinômio até o grau 3, incluindo termos com . Como não conseguimos gerar , o conjunto não é suficiente para gerar todo o espaço .
Resposta
Nenhum dos conjuntos apresentados gera , pois não é possível formar polinômios de grau 3 usando os elementos do conjunto .