Quais dos conjuntos que se seguem geram o P3? Justrifique sua resposta: 2, x^2, x, 2 x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quais dos conjuntos apresentados conseguem gerar o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto que estamos analisando é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto gerar um espaço e como verificar se, combinando os elementos desse conjunto, conseguimos formar qualquer polinômio de grau até 3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço . Ele consiste em todos os polinômios da forma , onde são números reais. Nosso objetivo é ver se, usando combinações lineares dos elementos do conjunto , conseguimos formar qualquer polinômio desse tipo.

Passo 3

Vamos entender o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos elementos do conjunto é qualquer expressão que seja uma soma de cada elemento multiplicado por um escalar (número real). Então, para nosso conjunto, uma combinação linear geral seria:
c1 cdot 2 + c2 cdot x^2 + c3 cdot x + c4 cdot (2x + 3)
onde são números reais que podemos escolher.

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão:
c1 cdot 2 + c2 cdot x^2 + c3 cdot x + c4 cdot 2x + c4 cdot 3
Reagrupando os termos semelhantes:
(c1 cdot 2 + c4 cdot 3) + (c3 + c4 cdot 2)x + c2 cdot x^2
Isso nos dá um polinômio da forma:
A + Bx + Cx^2
onde:
A = c1 cdot 2 + c4 cdot 3
B = c3 + c4 cdot 2
C = c2

Passo 5

Observamos que, nessa combinação linear, não temos nenhum termo com . Ou seja, não conseguimos gerar polinômios de grau 3 usando os elementos desse conjunto, já que o maior grau que conseguimos é 2.

Passo 6

Além disso, para gerar , precisaríamos que nosso conjunto tivesse a capacidade de formar qualquer polinômio até o grau 3, incluindo termos com . Como não conseguimos gerar , o conjunto não é suficiente para gerar todo o espaço .

Resposta

Nenhum dos conjuntos apresentados gera , pois não é possível formar polinômios de grau 3 usando os elementos do conjunto .

Exercícios relacionados

Quais dos conjuntos que se seguem geram o P3? Justrifique sua resposta: 1, x^2, x^2-2
Dados x1=[c-1 2 3], x2=[l3 4 2], x=[l2 6 6] e y=[c-9 -2 5], y égerado por x1 e x2 ?
Achar um conjunto de geradores para os seguintes subespaços.
(b) V=[lla & b c & d] in M2(R) rvert, com a, b, c, d in R e b=c
Quais dos conjuntos que se seguem geram o P3? Justrifique sua resposta: x+2, x+1, x^2-1