Quais dos conjuntos que se seguem geram o P3? Justrifique sua resposta: 1, x^2, x^2-2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se o conjunto 1, x^2, x^2-2 consegue gerar todo o espaço P3. Aqui, P3 representa o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2, ou seja, forma geral ax^2 + bx + c. Para resolver isso, vamos precisar mexer com conceitos de combinação linear e ver se conseguimos expressar qualquer polinômio de P3 usando os elementos do conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto gerar um espaço vetorial. Dizemos que um conjunto gera o espaço se qualquer vetor (no nosso caso, qualquer polinômio de P3) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (polinômios) desse conjunto. Ou seja, para qualquer polinômio p(x) = ax^2 + bx + c, deve existir números alpha, beta e gamma tais que:
p(x) = alpha cdot 1 + beta cdot x^2 + gamma cdot (x^2 - 2)

Passo 3

Vamos expandir a expressão acima:
p(x) = alpha cdot 1 + beta cdot x^2 + gamma cdot x^2 - gamma cdot 2
Simplificando:
p(x) = (beta + gamma) x^2 + 0 cdot x + (alpha - 2gamma)
Comparando com a forma geral p(x) = ax^2 + bx + c, temos:
beta + gamma = a 0 = b alpha - 2gamma = c

Passo 4

Observando o sistema de equações, vemos que ele impõe algumas restrições:
  1. beta + gamma = a
  2. 0 = b
  3. alpha - 2gamma = c
A segunda equação nos diz que b precisa ser zero. Isso significa que só conseguimos gerar polinômios onde o termo em x é zero.

Passo 5

Como no espaço P3 temos polinômios com termos de x, se o conjunto só consegue gerar polinômios sem o termo em x, ele não consegue gerar todo o espaço P3. Portanto, o conjunto 1, x^2, x^2-2 não gera P3.

Resposta

O conjunto 1, x^2, x^2-2 não gera o espaço P3, pois não é possível formar qualquer polinômio de P3 usando apenas esses elementos.

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