Quais dos conjuntos que se seguem geram o ? Justrifique sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se o conjunto consegue gerar todo o espaço . Aqui, representa o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2, ou seja, forma geral . Para resolver isso, vamos precisar mexer com conceitos de combinação linear e ver se conseguimos expressar qualquer polinômio de usando os elementos do conjunto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto gerar um espaço vetorial. Dizemos que um conjunto gera o espaço se qualquer vetor (no nosso caso, qualquer polinômio de ) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (polinômios) desse conjunto. Ou seja, para qualquer polinômio , deve existir números , e tais que:
Passo 3
Vamos expandir a expressão acima:
Simplificando:
Comparando com a forma geral , temos:
Passo 4
Observando o sistema de equações, vemos que ele impõe algumas restrições:
beta + gamma = a
0 = b
alpha - 2gamma = c
A segunda equação nos diz que b precisa ser zero. Isso significa que só conseguimos gerar polinômios onde o termo em x é zero.
Passo 5
Como no espaço P3 temos polinômios com termos de x, se o conjunto só consegue gerar polinômios sem o termo em x, ele não consegue gerar todo o espaço P3. Portanto, o conjunto 1, x^2, x^2-2não gera P3.
Resposta
O conjunto 1, x^2, x^2-2não gera o espaço P3, pois não é possível formar qualquer polinômio de P3 usando apenas esses elementos.