Quais dos conjuntos que se seguem geram o P3? Justrifique sua resposta: x+2, x+1, x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se o conjunto x+2, x+1, x^2-1 gera o espaço P3. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e geradores. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como combinações lineares funcionam e verificar se conseguimos formar qualquer polinômio de grau até 3 usando os elementos desse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço P3. Esse espaço é formado por todos os polinômios de grau até 3, ou seja, polinômios que podem ser escritos na forma:
a + b x + c x^2 + d x^3
onde a, b, c e d são números reais.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa dizer que um conjunto gera P3. Um conjunto gera um espaço vetorial se qualquer elemento desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto. Uma combinação linear envolve multiplicar cada vetor por um escalar e somar os resultados. Matemáticamente, se temos vetores v1, v2, v3, então qualquer vetor v no espaço pode ser escrito como:
v = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3
onde k1, k2, k3 são escalares.

Passo 4

Vamos analisar o conjunto dado: x+2, x+1, x^2-1. Precisamos ver se conseguimos formar qualquer polinômio de grau até 3 usando combinações desses três polinômios. Ou seja, queremos saber se para qualquer polinômio a + b x + c x^2 + d x^3, existem números k1, k2, k3 tais que:
a + b x + c x^2 + d x^3 = k1 (x+2) + k2 (x+1) + k3 (x^2-1)

Passo 5

Vamos expandir a combinação linear:
k1 (x+2) + k2 (x+1) + k3 (x^2-1) = (k1 + k2) x + (2k1 + k2) + k3 x^2 - k3
Simplificando:
= k3 x^2 + (k1 + k2) x + (2k1 + k2 - k3)

Passo 6

Agora, comparando com o polinômio geral a + b x + c x^2 + d x^3, percebemos que na combinação linear não aparece o termo x^3. Isso significa que não conseguimos gerar o termo d x^3 usando os polinômios do conjunto dado.

Passo 7

Além disso, o espaço P3 é 4-dimensionado porque precisamos de quatro polinômios linearmente independentes para gerar todo o espaço. Porém, nosso conjunto tem apenas três polinômios, o que já indica que não é suficiente para gerar P3.

Passo 8

Portanto, concluímos que o conjunto x+2, x+1, x^2-1 não gera o espaço P3, já que não conseguimos formar polinômios de grau 3 e faltam elementos para alcançar a dimensão necessária.

Resposta

O conjunto x+2, x+1, x^2-1 não gera o espaço P3 porque não é possível formar polinômios de grau 3 com ele, e o espaço P3 requer pelo menos quatro elementos para ser totalmente gerado.

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