Quais dos conjuntos que se seguem geram o ? Justrifique sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se o conjunto gera o espaço . Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e geradores. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como combinações lineares funcionam e verificar se conseguimos formar qualquer polinômio de grau até 3 usando os elementos desse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço . Esse espaço é formado por todos os polinômios de grau até 3, ou seja, polinômios que podem ser escritos na forma:
onde , , e são números reais.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa dizer que um conjunto gera . Um conjunto gera um espaço vetorial se qualquer elemento desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto. Uma combinação linear envolve multiplicar cada vetor por um escalar e somar os resultados. Matemáticamente, se temos vetores , então qualquer vetor no espaço pode ser escrito como:
onde , , são escalares.
Passo 4
Vamos analisar o conjunto dado: . Precisamos ver se conseguimos formar qualquer polinômio de grau até 3 usando combinações desses três polinômios. Ou seja, queremos saber se para qualquer polinômio , existem números , , tais que:
Passo 5
Vamos expandir a combinação linear:
Simplificando:
Passo 6
Agora, comparando com o polinômio geral , percebemos que na combinação linear não aparece o termo . Isso significa que não conseguimos gerar o termo usando os polinômios do conjunto dado.
Passo 7
Além disso, o espaço é 4-dimensionado porque precisamos de quatro polinômios linearmente independentes para gerar todo o espaço. Porém, nosso conjunto tem apenas três polinômios, o que já indica que não é suficiente para gerar .
Passo 8
Portanto, concluímos que o conjunto não gera o espaço , já que não conseguimos formar polinômios de grau 3 e faltam elementos para alcançar a dimensão necessária.
Resposta
O conjunto não gera o espaço porque não é possível formar polinômios de grau 3 com ele, e o espaço requer pelo menos quatro elementos para ser totalmente gerado.