Nos problemas a seguir, são apresentados subconjuntos de . Verificar quais deles são subespaços vetoriais de , considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
(b)
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços, que basicamente envolvem conferir se atende a três condições principais para ser considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa checar se contém o vetor nulo de , que é . Substituindo na condição :
Então, o vetor nulo está dentro de . Isso é o primeiro passo certo!
Passo 3
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Ou seja, se a soma de dois vetores que estão em também está em . Vamos pegar dois vetores quaisquer de :
Somando eles:
Para que esteja em , precisamos que:
Substituindo e :
Simplificando:
Isso só é verdade se ou . Mas, em geral, isso não acontece para todos os vetores em . Portanto, não é fechado sob adição.
Passo 4
Mesmo já tendo visto que não é fechado sob adição, vamos checar a última condição por completude: fechamento sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um vetor de por um escalar , temos:
Para estar em :
Já que :
Isso só acontece se ou , mas não para qualquer escalar. Então, também não é fechado sob multiplicação por escalar.