Nos problemas a seguir, são apresentados subconjuntos de
. Verificar quais deles são subespaços vetoriais de
, considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços, que basicamente envolvem conferir se
atende a três condições principais para ser considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa checar se
contém o vetor nulo de
, que é
. Substituindo na condição
:
Então, o vetor nulo está dentro de
. Isso é o primeiro passo certo!
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se a soma de dois vetores que estão em
também está em
. Vamos pegar dois vetores quaisquer de
:
Somando eles:
Para que
esteja em
, precisamos que:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Isso só é verdade se
ou
. Mas, em geral, isso não acontece para todos os vetores em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Mesmo já tendo visto que
não é fechado sob adição, vamos checar a última condição por completude: fechamento sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um vetor de
por um escalar
, temos:
Para
estar em
:
Já que
:
Isso só acontece se
ou
, mas não para qualquer escalar. Então,
também não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.