Nos problemas a seguir, são apresentados subconjuntos de R^3. Verificar quais deles são subespaços vetoriais de R^3, considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
(b) W=(x, y, z) mid x=z^2

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços, que basicamente envolvem conferir se atende a três condições principais para ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa checar se 0 = 0^2 implies 0 = 0 contém o vetor nulo de , que é . Substituindo na condição :
Então, o vetor nulo está dentro de . Isso é o primeiro passo certo!

Passo 3

Agora, vamos ver se u = (x1, y1, z1) onde x1 = z1^2 é fechado sob adição. Ou seja, se a soma de dois vetores que estão em v = (x2, y2, z2) onde x2 = z2^2 também está em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) . Vamos pegar dois vetores quaisquer de x1 + x2 = (z1 + z2)^2 :
z1^2 + z2^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2
z1^2 + z2^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2 implies 0 = 2z1z2
Somando eles:
Para que esteja em , precisamos que:
Substituindo e :
Simplificando:
Isso só é verdade se ou . Mas, em geral, isso não acontece para todos os vetores em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Mesmo já tendo visto que k cdot u = (k x, k y, k z) não é fechado sob adição, vamos checar a última condição por completude: fechamento sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um vetor de k x = (k z)^2 implies k x = k^2 z^2 por um escalar k z^2 = k^2 z^2 implies k = k^2 , temos:
Para estar em :
Já que :
Isso só acontece se ou , mas não para qualquer escalar. Então, também não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de .

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