Achar um conjunto de geradores para os seguintes subespaços.
(a) U=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=z+t=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço de definido pelas equações e . Nosso objetivo é encontrar um conjunto de vetores que gera esse subespaço, ou seja, um conjunto de vetores cucas combinações lineares podem formar qualquer vetor de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar. A equação significa que . Já quer dizer que . Assim, podemos expressar as coordenadas e em termos de e .

Passo 3

Vamos parametrizar os vetores de (x, y, z, t) = (y, y, -t, t) usando e como parâmetros livres. Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:

Passo 4

Podemos separar os termos que dependem de (y, y, -t, t) = y cdot (1, 1, 0, 0) + t cdot (0, 0, -1, 1) e :
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Portanto, o conjunto é um conjunto de geradores para o subespaço .

Resposta

Um conjunto de geradores para é .

Exercícios relacionados

Seja o espaço vetorial M2(R). Determinar o subespaço gerado pelos vetores
v1=[cc -1 & 2 1 & 0 ] v2=[cc 2 & 1 -1 & -1 ]
Nos problemas a seguir, são apresentados subconjuntos de R^3. Verificar quais deles são subespaços vetoriais de R^3, considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
(b) W=(x, y, z) mid x=z^2
No espaço vetorial R^3 consideremos os seguintes subespaços:
U=(x, y, z) in R^3 mid x=0
e
V=[(1,2,0),(3,1,2)]
Determine uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U+V, U cap V.
Determine quais das seguintes aplicações são lineares: f: R^3 R^2, f(x, y, z)=(x+2 y+z^2, x-3 y);