Achar um conjunto de geradores para os seguintes subespaços.
(a) U=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=z+t=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço de definido pelas equações e . Nosso objetivo é encontrar um conjunto de vetores que gera esse subespaço, ou seja, um conjunto de vetores cucas combinações lineares podem formar qualquer vetor de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar. A equação significa que . Já quer dizer que . Assim, podemos expressar as coordenadas e em termos de e .

Passo 3

Vamos parametrizar os vetores de (x, y, z, t) = (y, y, -t, t) usando e como parâmetros livres. Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:

Passo 4

Podemos separar os termos que dependem de (y, y, -t, t) = y cdot (1, 1, 0, 0) + t cdot (0, 0, -1, 1) e :
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Portanto, o conjunto é um conjunto de geradores para o subespaço .

Resposta

Um conjunto de geradores para é .

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