Achar um conjunto de geradores para os seguintes subespaços.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço
de
definido pelas equações
e
. Nosso objetivo é encontrar um conjunto de vetores que gera esse subespaço, ou seja, um conjunto de vetores cucas combinações lineares podem formar qualquer vetor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar. A equação
significa que
. Já
quer dizer que
. Assim, podemos expressar as coordenadas
e
em termos de
e
.
Passo 3
Vamos parametrizar os vetores de
usando
e
como parâmetros livres. Então, qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
Passo 4
Podemos separar os termos que dependem de
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Portanto, o conjunto
é um conjunto de geradores para o subespaço
.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é
.
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Seja o espaço vetorial
. Determinar o subespaço gerado pelos vetores
Nos problemas a seguir, são apresentados subconjuntos de
. Verificar quais deles são subespaços vetoriais de
, considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
(b)
(b)
No espaço vetorial
consideremos os seguintes subespaços:
e
Determine uma base e a dimensão dos subespaços
.
Determine quais das seguintes aplicações são lineares:
;