Determine quais das seguintes aplicações são lineares: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a aplicação , definida por , é linear. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre funções lineares. Precisamos verificar se a função satisfaz duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
Se a função cumprir essas duas propriedades, ela é linear.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada: .
Observamos que na primeira componente da função, temos o termo . Esse termo é um termo quadrático, ou seja, não é linear em . Em funções lineares, todas as variáveis devem aparecer apenas com expoente 1 e não devem estar multiplicadas entre si.
Passo 4
Além disso, vamos verificar rapidamente as propriedades de linearidade:
Aditividade:
Se somarmos dois vetores e , a função ficaria:
Note que o termo não é igual a , o que viola a aditividade.
Homogeneidade:
Se multiplicarmos o vetor por um escalar , a função fica: