Determine quais das seguintes aplicações são lineares: f: R^3 R^2, f(x, y, z)=(x+2 y+z^2, x-3 y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a aplicação , definida por , é linear. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre funções lineares. Precisamos verificar se a função satisfaz duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Se a função cumprir essas duas propriedades, ela é linear.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: .
Observamos que na primeira componente da função, temos o termo . Esse termo é um termo quadrático, ou seja, não é linear em . Em funções lineares, todas as variáveis devem aparecer apenas com expoente 1 e não devem estar multiplicadas entre si.

Passo 4

Além disso, vamos verificar rapidamente as propriedades de linearidade:
  1. Aditividade:
    • Se somarmos dois vetores f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2) + (z1 + z2)^2,, (x1 + x2) - 3(y1 + y2)) e f(cx, cy, cz) = (cx + 2cy + (cz)^2,, cx - 3cy) = c(x + 2y) + c^2 z^2,, c(x - 3y) , a função ficaria:
    • Note que o termo não é igual a , o que viola a aditividade.
  2. Homogeneidade:
    • Se multiplicarmos o vetor por um escalar , a função fica:
    • O termo não é igual a , violando a homogeneidade.

Resposta

A função não é linear.

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e
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