Determine quais das seguintes aplicações são lineares:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a aplicação
, definida por
, é linear. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre funções lineares. Precisamos verificar se a função satisfaz duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Se a função
cumprir essas duas propriedades, ela é linear.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
.
Observamos que na primeira componente da função, temos o termo
. Esse termo é um termo quadrático, ou seja, não é linear em
. Em funções lineares, todas as variáveis devem aparecer apenas com expoente 1 e não devem estar multiplicadas entre si.
Passo 4
Além disso, vamos verificar rapidamente as propriedades de linearidade:
-
Aditividade:
- Se somarmos dois vetores
e , a função ficaria: - Note que o termo
não é igual a , o que viola a aditividade.
- Se somarmos dois vetores
-
Homogeneidade:
- Se multiplicarmos o vetor por um escalar
, a função fica: - O termo
não é igual a , violando a homogeneidade.
- Se multiplicarmos o vetor por um escalar
Resposta
A função
não é linear.