Seja o espaço vetorial M2(R). Determinar o subespaço gerado pelos vetores
v1=[cc -1 & 2 1 & 0 ] v2=[cc 2 & 1 -1 & -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar o subespaço gerado pelos vetores e no espaço vetorial . Basicamente, isso significa que queremos encontrar todas as possíveis combinações lineares desses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e subespaços em álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de e é qualquer vetor que pode ser escrito como , onde e são números reais. No nosso caso, como estamos trabalhando com matrizes, vamos fazer a mesma coisa com as matrizes e .

Passo 3

Vamos escrever a combinação linear das matrizes A = a v1 + b v2 = a -1 & 2 1 & 0 + b 2 & 1 -1 & -1 e A = -a & 2a a & 0 + 2b & b -b & -b = -a + 2b & 2a + b a - b & -b :
Agora, vamos distribuir os escalares e nas matrizes:

Passo 4

Então, toda matriz A = -a + 2b & 2a + b a - b & -b no subespaço gerado por e pode ser escrita como:
Aqui, e são números reais que podem assumir qualquer valor.

Passo 5

Isso significa que o subespaço gerado por e inclui todas as matrizes que têm a forma acima. Em outras palavras, para qualquer valor de e , você pode construir uma matriz que pertence a esse subespaço.

Resposta

O subespaço gerado por -a + 2b & 2a + b a - b & -b , onde a, b in R e consiste em todas as matrizes da forma

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e
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