Seja o espaço vetorial
. Determinar o subespaço gerado pelos vetores
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar o subespaço gerado pelos vetores
e
no espaço vetorial
. Basicamente, isso significa que queremos encontrar todas as possíveis combinações lineares desses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e subespaços em álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de
e
é qualquer vetor que pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. No nosso caso, como estamos trabalhando com matrizes, vamos fazer a mesma coisa com as matrizes
e
.
Passo 3
Vamos escrever a combinação linear das matrizes
e
:
Agora, vamos distribuir os escalares
e
nas matrizes:
Passo 4
Então, toda matriz
no subespaço gerado por
e
pode ser escrita como:
Aqui,
e
são números reais que podem assumir qualquer valor.
Passo 5
Isso significa que o subespaço gerado por
e
inclui todas as matrizes que têm a forma acima. Em outras palavras, para qualquer valor de
e
, você pode construir uma matriz
que pertence a esse subespaço.
Resposta
O subespaço gerado por
e
consiste em todas as matrizes da forma
Exercícios relacionados
Nos problemas a seguir, são apresentados subconjuntos de
. Verificar quais deles são subespaços vetoriais de
, considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
(b)
(b)
Quais dos conjuntos que se seguem geram o
? Justrifique sua resposta:
Achar um conjunto de geradores para os seguintes subespaços.
(a)
(a)
No espaço vetorial
consideremos os seguintes subespaços:
e
Determine uma base e a dimensão dos subespaços
.