No espaço vetorial R^3 consideremos os seguintes subespaços:
U=(x, y, z) in R^3 mid x=0
e
V=[(1,2,0),(3,1,2)]
Determine uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U+V, U cap V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base e a dimensão dos subespaços e no espaço vetorial . Aqui, vamos lidar com conceitos de subespaços vetoriais, base e dimensão. Para isso, precisamos entender como encontrar uma base para cada subespaço e, a partir disso, determinar sua dimensão (que é o número de vetores na base).

Passo 2

Vamos começar analisando o subespaço U = (x, y, z) in R^3 mid x = 0 . Ele é definido por:
Isso significa que todos os vetores em têm o primeiro componente igual a zero. Então, podemos escrever um vetor genérico de como .

Passo 3

Para encontrar uma base de (0, y, z) = y cdot (0,1,0) + z cdot (0,0,1) , buscamos um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. Observando , podemos decompor em:
Então, os vetores e formam uma base para .

Passo 4

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos 2 vetores na base de , a dimensão de é 2.

Passo 5

Agora, vamos para o subespaço V = span(1,2,0), (3,1,2) , que é gerado pelos vetores e :
Primeiro, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para .

Passo 6

Para verificar a independência linear, montamos uma combinação linear igual a zero:
a(1,2,0) + b(3,1,2) = (0,0,0)
Isso resulta no sistema:
a + 3b = 0 2a + b = 0 0a + 2b = 0
Resolvendo, da terceira equação temos . Substituindo em , obtemos . Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Portanto, é uma base para , e a dimensão de é 2.

Passo 8

Agora, vamos encontrar U + V = u + v mid u in U, v in V , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de :
Como tem dimensão 2 e tem dimensão 2, inicialmente poderíamos pensar que teria dimensão até 4, mas como estamos em , a dimensão máxima é 3. Vamos verificar.

Passo 9

Para encontrar uma base de (0,1,0), (0,0,1), (1,2,0), (3,1,2) , combinamos as bases de e :
Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se não forem, removemos os dependentes.

Passo 10

Observando, vemos que 3(1,2,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (3,1,2) não pode ser escrito como combinação linear de 3 = 3 2 cdot 3 + b = 1 Rightarrow b = -5 c = 2 e , então adicionamos ele à base. Agora, verificamos :
Isso resulta em:
Portanto, é combinação linear dos vetores já na base, então não precisamos dele.

Passo 11

Assim, uma base para é e sua dimensão é 3.

Passo 12

Por fim, vamos determinar , que consiste nos vetores que estão simultaneamente em e em . Ou seja, vetores que satisfazem e podem ser escritos como combinação linear de e .

Passo 13

Suponha que (0, y, z) = a(1,2,0) + b(3,1,2) , então existe a + 3b = 0 2a + b = y 0a + 2b = z tais que:
2(-3b) + b = -5b = y
Isso dá o sistema:
2b = z
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
E na terceira:
Para que exista solução, y e z devem satisfazer e . Aqui, pode ser qualquer real, então os vetores em têm a forma .

Passo 14

Portanto, uma base para é e sua dimensão é 1.

Resposta

  • Base e dimensão de Base U = , (0,1,0), (0,0,1) ,, dim(U) = 2 :
    Base V = , (1,2,0), (3,1,2) ,, dim(V) = 2
  • Base e dimensão de Base U + V = , (0,1,0), (0,0,1), (1,2,0) ,, dim(U + V) = 3 :
    Base U cap V = , (0,-5,2) ,, dim(U cap V) = 1
  • Base e dimensão de :
  • Base e dimensão de :

Exercícios relacionados

Achar um conjunto de geradores para os seguintes subespaços.
(a) U=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=z+t=0
Seja o espaço vetorial M2(R). Determinar o subespaço gerado pelos vetores
v1=[cc -1 & 2 1 & 0 ] v2=[cc 2 & 1 -1 & -1 ]
Determine quais das seguintes aplicações são lineares: f: R^3 R^2, f(x, y, z)=(x+2 y+z^2, x-3 y);
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M2(R) :
b) [lla & b c & d] rvert, b=a+c