Achar uma curva que passa pelo ponto
de modo que o coeficiente angular da reta tangente em qualquer um dos seus pontos seja igual ao triplo da ordenada do mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma curva que passa pelo ponto
e que, em qualquer ponto dessa curva, o coeficiente angular da reta tangente seja igual ao triplo da ordenada desse ponto. Ou seja, a inclinação da tangente em qualquer ponto
da curva é
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais, que relacionam uma função com suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o que o enunciado disse para uma equação matemática. O coeficiente angular da reta tangente é a derivada da função
em relação a
, ou seja,
. Então, temos:
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação
é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida separando as variáveis. Isso significa que vamos separar os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro lado.
Primeiro, reescrevemos a equação:
Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a função
.
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Então, temos:
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
Como
é apenas uma constante, podemos substituí-la por uma nova constante
:
Considerando que
pode ser positivo ou negativo, podemos escrever:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial fornecida pelo enunciado, que é o ponto
. Isso significa que quando
,
.
Substituindo esses valores na equação:
Resposta
Portanto, a curva que satisfaz as condições do exercício é:
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