Achar uma curva que passa pelo ponto (0, -2) de modo que o coeficiente angular da reta tangente em qualquer um dos seus pontos seja igual ao triplo da ordenada do mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma curva que passa pelo ponto e que, em qualquer ponto dessa curva, o coeficiente angular da reta tangente seja igual ao triplo da ordenada desse ponto. Ou seja, a inclinação da tangente em qualquer ponto (x, y) da curva é . Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais, que relacionam uma função com suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que o enunciado disse para uma equação matemática. O coeficiente angular da reta tangente é a derivada da função y em relação a x, ou seja, . Então, temos:
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida separando as variáveis. Isso significa que vamos separar os termos envolvendo y de um lado e os termos envolvendo x do outro lado.
Primeiro, reescrevemos a equação:
Dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por :

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a função y(x).
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Onde C é a constante de integração.
Então, temos:

Passo 5

Vamos resolver para y. Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
Como é apenas uma constante, podemos substituí-la por uma nova constante K:
Considerando que K pode ser positivo ou negativo, podemos escrever:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial fornecida pelo enunciado, que é o ponto . Isso significa que quando x = 0, .
Substituindo esses valores na equação:

Resposta

Portanto, a curva que satisfaz as condições do exercício é:

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