Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Precisamos verificar se a equação diferencial
é exata e, caso seja, encontrar suas curvas integrais. Para isso, vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, que envolvem funções que podem ser derivadas de uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação de forma padrão:
, onde:
e
Passo 3
Uma equação diferencial é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Como
, a equação é exata.
Passo 6
Para encontrar a curva integral, precisamos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Integrando, temos
, onde
é uma constante.
Passo 8
A função potencial é:
Resposta
As curvas integrais são dadas por
, onde
é uma constante.
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de modo que o coeficiente angular da reta tangente em qualquer um dos seus pontos seja igual ao triplo da ordenada do mesmo ponto.
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Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:
Para cada uma das equações abaixo, encontre um fator integrante e determine suas curvas integrais: