Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais: (e^y + cos(x)) + x e^y y' = 0

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Precisamos verificar se a equação diferencial (e^y + cos(x)) + x e^y y' = 0 é exata e, caso seja, encontrar suas curvas integrais. Para isso, vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, que envolvem funções que podem ser derivadas de uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação de forma padrão: , onde:
e

Passo 3

Uma equação diferencial é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Como , a equação é exata.

Passo 6

Para encontrar a curva integral, precisamos encontrar uma função F(x, y) tal que:
Integrando M(x, y) em relação a x:
onde é uma função arbitrária de y.

Passo 7

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y):
Isso implica que:
Integrando, temos , onde C é uma constante.

Passo 8

A função potencial é:

Resposta

As curvas integrais são dadas por , onde C é uma constante.

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