Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem: . Além disso, temos condições iniciais: , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e características de equações homogêneas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica da nossa equação diferencial. A equação dada é . Substituímos por para formar a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Podemos fatorar:
Isso nos dá as raízes:
á

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz , a solução associada é:
  • Para : (constante)
  • Para (raiz dupla): (porque a raiz se repete)
  • Para :
Então, a solu��ão geral é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes , e .
Primeiro, calculemos as derivadas de :
Agora, aplicando as condições iniciais:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 6

Com , podemos encontrar e :
Agora, substituímos esses valores na solução geral:

Resposta

A solução do PVI é:

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