Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
. Além disso, temos condições iniciais:
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e características de equações homogêneas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica da nossa equação diferencial. A equação dada é
. Substituímos
por
para formar a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar:
Isso nos dá as raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz
, a solução associada é:
- Para
: (constante) - Para
(raiz dupla): (porque a raiz se repete) - Para
:
Então, a solu��ão geral é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
,
e
.
Primeiro, calculemos as derivadas de
:
Agora, aplicando as condições iniciais:
-
:
-
:
-
:
Passo 6
Com
, podemos encontrar
e
:
Agora, substituímos esses valores na solução geral:
Resposta
A solução do PVI é:
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