Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. A gente precisa verificar se a equação dada é exata e, se for, encontrar suas curvas integrais. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e integrar fatores. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de equações diferenciais exatas, que é
.
Dada a equação:
Podemos reescrever
como
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora, rearranjamos para deixar tudo do lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, temos:
onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação
é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calculemos
:
Então,
Agora, calculemos
:
Então,
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que aparece na constante de integração.
Sabemos que:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
usando a condição
.
Primeiro, calculemos
:
Então,
Igualando a
:
Portanto,
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, temos a função
:
As curvas integrais são as soluções da equação
. Assim:
Podemos reescrever de forma mais simples:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde
é uma constante.
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