Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. A gente precisa verificar se a equação dada é exata e, se for, encontrar suas curvas integrais. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e integrar fatores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de equações diferenciais exatas, que é .
Dada a equação:
Podemos reescrever como :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, rearranjamos para deixar tudo do lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por :
Então, temos:
onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calculemos :
Então,
Agora, calculemos :
Então,
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função de que aparece na constante de integração.
Sabemos que:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, vamos encontrar usando a condição .
Primeiro, calculemos :
Então,
Igualando a :
Portanto,
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, temos a função :
As curvas integrais são as soluções da equação . Assim:
Podemos reescrever de forma mais simples:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
onde é uma constante.

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