Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condições iniciais. A gente tem a equação e as condições e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, que envolvem encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, buscamos soluções na forma . Substituindo na equação:
Como nunca é zero, temos que , ou seja, e .
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde com as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos tentar uma solução particular também polinomial. Vamos supor que:
Derivando, temos:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para achar e .
Primeira condição: :
Segunda condição: . Primeiro, calculamos a derivada:
Aplicando :
Como , substituímos:
Então, .

Resposta

A solução do PVI é:

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