Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condições iniciais. A gente tem a equação
e as condições
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, que envolvem encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, buscamos soluções na forma
. Substituindo na equação:
Como
nunca é zero, temos que
, ou seja,
e
.
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde com as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos tentar uma solução particular também polinomial. Vamos supor que:
Derivando, temos:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para achar
e
.
Primeira condição:
:
Segunda condição:
. Primeiro, calculamos a derivada:
Aplicando
:
Como
, substituímos:
Então,
.
Resposta
A solução do PVI é:
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