Achar a curva que possui a propriedade de que a magnitude da perpendicular baixada da origem de coordenadas a tangente seja igual a abscissa do ponto de contato.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente precisa encontrar uma curva onde, para qualquer ponto dessa curva, a distância da origem até a tangente nessa curva seja igual à coordenada x desse ponto. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar entender como encontrar a equação da tangente a uma curva e como calcular a distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um ponto qualquer
na curva que estamos procurando. A equação da reta tangente à curva nesse ponto pode ser escrita usando a derivada. Sabemos que a inclinação da tangente é dada por
, então a equação da tangente é:
onde
, e
.
Passo 3
Agora, queremos calcular a distância da origem
até essa tangente. A fórmula para a distância de um ponto
até uma reta
é:
Vamos reescrever a equação da tangente na forma geral para usar essa fórmula.
Passo 4
Rearranjando a equação da tangente:
Então,
,
, e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da distância com
:
De acordo com o enunciado, essa distância
deve ser igual a
:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação. Como estamos trabalhando com distâncias, podemos remover o valor absoluto (considerando que
pode ser positivo ou negativo, mas no final o resultado será positivo):
Passo 7
Agora, substituímos
por
:
Vamos trabalhar com a parte positiva para simplificar:
Passo 8
Vamos isolar os termos envolvendo
. Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 9
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando, as
se cancelam:
Passo 10
Isolando
:
Passo 11
Agora, temos uma equação diferencial:
Vamos separar as variáveis para resolver essa equação. Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Passo 12
Vamos reorganizar a equação para facilitar a integração:
Agora, vamos tentar uma substituição
, onde
e
.
Passo 13
Substituindo
na equação diferencial:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 14
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 15
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 16
Vamos resolver para
:
Onde
é uma constante.
Passo 17
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por
:
Passo 18
Esta é a equação geral da curva. Podemos escrever de forma mais familiar completando o quadrado:
Resposta
A curva procurada é um círculo de raio
com centro em
. A equação geral da curva é:
Onde
é uma constante real.
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Sejam as equações (Bernoulli)
(a)
(b)
Determine suas soluções gerais.
(a)
(b)
Determine suas soluções gerais.
Calcule
, sendo :
a)
a)