Achar a curva que possui a propriedade de que a magnitude da perpendicular baixada da origem de coordenadas a tangente seja igual a abscissa do ponto de contato.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente precisa encontrar uma curva onde, para qualquer ponto dessa curva, a distância da origem até a tangente nessa curva seja igual à coordenada x desse ponto. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar entender como encontrar a equação da tangente a uma curva e como calcular a distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um ponto qualquer na curva que estamos procurando. A equação da reta tangente à curva nesse ponto pode ser escrita usando a derivada. Sabemos que a inclinação da tangente é dada por , então a equação da tangente é:
onde , e .

Passo 3

Agora, queremos calcular a distância da origem até essa tangente. A fórmula para a distância de um ponto até uma reta é:
Vamos reescrever a equação da tangente na forma geral para usar essa fórmula.

Passo 4

Rearranjando a equação da tangente:
Então, , , e .

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância com :
De acordo com o enunciado, essa distância deve ser igual a :

Passo 6

Vamos simplificar essa equação. Como estamos trabalhando com distâncias, podemos remover o valor absoluto (considerando que pode ser positivo ou negativo, mas no final o resultado será positivo):

Passo 7

Agora, substituímos por :
Vamos trabalhar com a parte positiva para simplificar:

Passo 8

Vamos isolar os termos envolvendo . Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 9

Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando, as se cancelam:

Passo 10

Isolando :

Passo 11

Agora, temos uma equação diferencial:
Vamos separar as variáveis para resolver essa equação. Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:

Passo 12

Vamos reorganizar a equação para facilitar a integração:
Agora, vamos tentar uma substituição , onde e .

Passo 13

Substituindo na equação diferencial:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 14

Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 15

Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 16

Vamos resolver para :
Onde é uma constante.

Passo 17

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando tudo por :

Passo 18

Esta é a equação geral da curva. Podemos escrever de forma mais familiar completando o quadrado:

Resposta

A curva procurada é um círculo de raio com centro em . A equação geral da curva é:
Onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Sejam as equações (Bernoulli)
(a)
x y' + y = y^2 ln(x)
(b)
d y/d x + x y = x^3 y^3
Determine suas soluções gerais.
integral(x^3-4) d x
integral(13 x^2-12 x) d x
Calcule d/y d/x, sendo :
a) y = e^2