Achar as derivadas parciais fx e fy da função dada: f = (e^x + e^(-x)) / (e^(y + e))

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas parciais e da função . Esse tipo de problema pertence ao estudo de derivadas parciais, que é importante quando trabalhamos com funções de mais de uma variável. Para resolver, a gente vai precisar lembrar das regras de derivação, como a regra do quociente e as derivadas das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Vamos encontrar , a derivada parcial de em relação a . A função é:
Como e são constantes em relação a , o denominador também é uma constante. Então, a derivada de em relação a é simplesmente a derivada do numerador dividido pelo denominador:
Calculando a derivada do numerador:
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar , a derivada parcial de em relação a . A função é:
Aqui, o numerador é constante em relação a , então a derivada fica:
Para derivar , podemos reescrever como :
Então:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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