Achar as derivadas parciais
e
da função dada:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas parciais
e
da função
. Esse tipo de problema pertence ao estudo de derivadas parciais, que é importante quando trabalhamos com funções de mais de uma variável. Para resolver, a gente vai precisar lembrar das regras de derivação, como a regra do quociente e as derivadas das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes.
Passo 3
Vamos encontrar
, a derivada parcial de
em relação a
. A função é:
Como
e
são constantes em relação a
, o denominador
também é uma constante. Então, a derivada de
em relação a
é simplesmente a derivada do numerador dividido pelo denominador:
Calculando a derivada do numerador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, a derivada parcial de
em relação a
. A função é:
Aqui, o numerador
é constante em relação a
, então a derivada fica:
Para derivar
, podemos reescrever como
:
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de
.
.
Encontre as funções
e
e seus domínios.
.
Encontre a fórmula para a função inversa.
.
Encontre a fórmula para a função inversa.
.