Esboce o gráfico de . .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para esboçar o gráfico da função . Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis na matemática, onde a gente representa gráficos em 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta em relação a e e como isso se traduz no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada: . Sabemos que representa círculos concêntricos no plano com raio . Adicionando 1, isso sempre assegura que o valor dentro da raiz será pelo menos 1, o que significa que nunca será menor que 1.

Passo 3

Agora, vamos entender o formato geral do gráfico. A função pode ser reescrita como , onde . Isso se assemelha a uma superfície de revolução conhecida como paraboloide circular, mas ao invés de , temos a raiz quadrada, então é uma curva que cresce de forma mais suave.

Passo 4

Vamos calcular alguns pontos para ter uma ideia melhor. Por exemplo:
  • Quando e , .
  • Quando e , .
  • Quando e , .
  • Quando e , .
Esses pontos nos mostram que à medida que nos afastamos do centro (0,0), o valor de aumenta.

Passo 5

Com base nesses pontos e na nossa análise, podemos esboçar o gráfico. Ele será uma superfície suave que se eleva a partir do ponto (0,0,1) e sobe de forma circularmente simétrica à medida que nos afastamos no plano . Não há pontos pontiagudos ou mudanças bruscas na inclinação, pois a raiz quadrada proporciona um crescimento contínuo.

Resposta

O gráfico de é uma superfície tridimensional suave e circularmente simétrica que se eleva a partir do ponto (0,0,1) no plano e cresce continuamente conforme nos afastamos do centro no plano .

Exercícios relacionados

Encontre as funções e e seus domínios. .
Calcule as derivadas abaixo:
(h)
Achar as derivadas parciais e da função dada:
Encontre a fórmula para a função inversa. .