Esboce o gráfico de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para esboçar o gráfico da função
. Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis na matemática, onde a gente representa gráficos em 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta em relação a
e
e como isso se traduz no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Sabemos que
representa círculos concêntricos no plano
com raio
. Adicionando 1, isso sempre assegura que o valor dentro da raiz será pelo menos 1, o que significa que
nunca será menor que 1.
Passo 3
Agora, vamos entender o formato geral do gráfico. A função
pode ser reescrita como
, onde
. Isso se assemelha a uma superfície de revolução conhecida como paraboloide circular, mas ao invés de
, temos a raiz quadrada, então é uma curva que cresce de forma mais suave.
Passo 4
Vamos calcular alguns pontos para ter uma ideia melhor. Por exemplo:
- Quando
e , . - Quando
e , . - Quando
e , . - Quando
e , .
Esses pontos nos mostram que à medida que nos afastamos do centro (0,0), o valor de
aumenta.
Passo 5
Com base nesses pontos e na nossa análise, podemos esboçar o gráfico. Ele será uma superfície suave que se eleva a partir do ponto (0,0,1) e sobe de forma circularmente simétrica à medida que nos afastamos no plano
. Não há pontos pontiagudos ou mudanças bruscas na inclinação, pois a raiz quadrada proporciona um crescimento contínuo.
Resposta
O gráfico de
é uma superfície tridimensional suave e circularmente simétrica que se eleva a partir do ponto (0,0,1) no plano
e cresce continuamente conforme nos afastamos do centro no plano
.
Exercícios relacionados
Encontre as funções
e
e seus domínios.
.
Calcule as derivadas abaixo:
(h)
(h)
Achar as derivadas parciais
e
da função dada:
Encontre a fórmula para a função inversa.
.