Achar as dimensões de uma caixa sem tampa de maior volume possível a ser conbstruída com uma mámina retangular de zinco de 2 cm por 4 cm .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma caixa sem tampa que tenha o maior volume possível. Para isso, vamos usar um pedaço retangular de zinco que mede 2 cm por 4 cm. Vamos precisar entender um pouco sobre otimização e como expressar o volume da caixa em função das dimensões que vamos ajustar.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar como a caixa vai ser feita. A ideia é cortar quadradinhos de cada canto da folha de zinco e depois dobrar as laterais para formar a caixa. Vamos chamar o lado desses quadrados que vamos cortar de cm.

Passo 3

Depois de cortar os quadrados, as novas dimensões da base da caixa vão mudar. O comprimento vai ser cm e a largura vai ser cm, porque estamos cortando cm de cada lado. A altura da caixa será exatamente cm.

Passo 4

Para achar o volume da caixa, multiplicamos a largura, o comprimento e a altura:
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, temos uma função de volume em termos de .

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, vamos derivar a função em relação a e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, não há solução real para . Isso significa que, com as dimensões dadas (2 cm por 4 cm), não é possível cortar quadrados dos cantos para formar uma caixa com volume positivo.

Resposta

Não é possível construir uma caixa sem tampa com volume positivo usando uma folha de zinco de 2 cm por 4 cm.

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$(e) ;
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$(d) ;
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;
Determine os valores de para os quais a aproximação quadrática do Problema 1 tem precisão de . [Dica: faça os gráficos de e em uma tela de computador.]