Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$(e) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo, tanto locais quanto absolutos, da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o estudo de derivadas para identificar os pontos críticos onde as máximas e mínimas podem ocorrer.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo. Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é zero ou não está definida. Nesse caso, a derivada está definida para todo , então vamos resolver:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Aqui, , e . Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais, podemos usar o Teste da Segunda Derivada. Vamos encontrar a segunda derivada de :
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
Como , significa que a função tem um mínimo local em .
  • Para :
Como , isso indica que a função tem um máximo local em .

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores de nesses pontos para encontrar os máximos e mínimos locais:
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Para determinar se esses valores são também extremos absolutos, devemos analisar o comportamento da função para tendendo ao infinito positivo e negativo:
  • Quando , o termo dominante é , então .
  • Quando , novamente, domina, então .
Isso significa que:
  • O valor mínimo local em com é o mínimo absoluto.
  • O valor máximo local em com é o máximo absoluto.

Resposta

A função possui:
  • Máximo local e absoluto em com valor .
  • Mínimo local e absoluto em com valor .

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