Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$(e)
;
$(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo, tanto locais quanto absolutos, da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o estudo de derivadas para identificar os pontos críticos onde as máximas e mínimas podem ocorrer.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo. Vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero ou não está definida. Nesse caso, a derivada está definida para todo
, então vamos resolver:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais, podemos usar o Teste da Segunda Derivada. Vamos encontrar a segunda derivada de
:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, significa que a função tem um mínimo local em
.
- Para
:
Como
, isso indica que a função tem um máximo local em
.
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores de
nesses pontos para encontrar os máximos e mínimos locais:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Para determinar se esses valores são também extremos absolutos, devemos analisar o comportamento da função para
tendendo ao infinito positivo e negativo:
- Quando
, o termo dominante é , então . - Quando
, novamente, domina, então .
Isso significa que:
- O valor mínimo local em
com é o mínimo absoluto. - O valor máximo local em
com é o máximo absoluto.
Resposta
A função
possui:
- Máximo local e absoluto em
com valor . - Mínimo local e absoluto em
com valor .
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