Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos, da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com análise de funções para identificar seus pontos críticos e comportamento geral. Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender como elas ajudam a encontrar esses pontos especiais na função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função
. A função logaritmo natural,
, só está definida para
. Portanto, nosso domínio é
. Isso é importante porque limita onde podemos procurar os máximos e mínimos.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular a primeira derivada da função. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está crescendo ou diminuindo em cada ponto.
A derivada de
é:
Usamos a regra do produto aqui, derivando
e
separadamente.
Passo 4
Em seguida, encontramos os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Como
está definida para todo
, vamos resolver quando ela é igual a zero:
Então,
é um ponto crítico.
Passo 5
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto. Vamos usar a segunda derivada aqui.
A segunda derivada de
é:
Como
é sempre positiva para
, isso indica que a função é côncava para cima nesse intervalo. Portanto, o ponto crítico
é um ponto de mínimo local.
Passo 6
Agora, vamos analisar os extremos absolutos. Como a função está definida para
, precisamos verificar o comportamento da função nos limites desse intervalo.
- Quando
se aproxima de pelo lado positivo, tende a , e tende a 0, pois vai para 0 mais rápido que vai para . - Quando
tende ao infinito, também tende ao infinito, e cresce sem limite.
Isso significa que a função não tem máximos absolutos, mas tem um mínimo absoluto em
.
Resposta
A função
possui um mínimo local e absoluto em
com valor
. Não há máximos locais ou absolutos para essa função.
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Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$(e) ;
$(e)
Determine os valores de
para os quais a aproximação quadrática
do Problema 1 tem precisão de
. [Dica: faça os gráficos de
e
em uma tela de computador.]
Encontre a aproximação quadrática
para a função
que satisfaça as condições (i), (ii) e (iii) com
. Faça o gráfico de
e da aproximação linear
uma mesma tela. Comente a qualidade das aproximações
e
de
.