Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos, da função . Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com análise de funções para identificar seus pontos críticos e comportamento geral. Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender como elas ajudam a encontrar esses pontos especiais na função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função . A função logaritmo natural, , só está definida para . Portanto, nosso domínio é . Isso é importante porque limita onde podemos procurar os máximos e mínimos.

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular a primeira derivada da função. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está crescendo ou diminuindo em cada ponto.
A derivada de é:
Usamos a regra do produto aqui, derivando e separadamente.

Passo 4

Em seguida, encontramos os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Como está definida para todo , vamos resolver quando ela é igual a zero:
Então, é um ponto crítico.

Passo 5

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto. Vamos usar a segunda derivada aqui.
A segunda derivada de é:
Como é sempre positiva para , isso indica que a função é côncava para cima nesse intervalo. Portanto, o ponto crítico é um ponto de mínimo local.

Passo 6

Agora, vamos analisar os extremos absolutos. Como a função está definida para , precisamos verificar o comportamento da função nos limites desse intervalo.
  • Quando se aproxima de pelo lado positivo, tende a , e tende a 0, pois vai para 0 mais rápido que vai para .
  • Quando tende ao infinito, também tende ao infinito, e cresce sem limite.
Isso significa que a função não tem máximos absolutos, mas tem um mínimo absoluto em .

Resposta

A função possui um mínimo local e absoluto em com valor . Não há máximos locais ou absolutos para essa função.

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