Determine os valores de para os quais a aproximação quadrática do Problema 1 tem precisão de . [Dica: faça os gráficos de e em uma tela de computador.]
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e sua aproximação quadrática . Nosso objetivo é encontrar os valores de onde essa aproximação está muito próxima de , com uma precisão de 0,1%. Para isso, vamos precisar entender sobre aproximações polinomiais e como calcular a precisão delas.
Passo 2
A aproximação quadrática de geralmente é dada pelo polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de . Esse polinômio é:
Isso significa que estamos aproximando por uma parábola que passa perto da verdadeira função em torno de .
Passo 3
Queremos que a diferença entre e seja menor que 0,1% de . Matemáticamente, isso é:
Substituindo :
Simplificando:
Passo 4
Para resolver essa inequação, vamos encontrar os valores de que satisfazem a condição. Isso pode ser feito graficamente, conforme a dica do exercício. Vamos plotar três curvas:
Os pontos onde a curva de está entre e correspondem aos valores de que atendem à precisão de 0,1%.
Passo 5
Plotando essas curvas em um gráfico, observamos que a aproximação quadrática se mantém dentro da faixa de 0,1% em torno de para valores de próximos de 0. Conforme aumenta, a diferença entre e também aumenta, saindo da faixa de precisão desejada.
Passo 6
Analisando o gráfico, podemos estimar que a precisão de 0,1% é mantida para valores de que estão aproximadamente entre e radians. Esses são os valores onde a aproximação quadrática é suficientemente precisa de acordo com o critério estabelecido.
Resposta
Os valores de para os quais a aproximação quadrática de tem precisão de 0,1% estão aproximadamente entre e radians.